giúp mình với các bạn trong bài SBD là 24

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1) Đầu tiên, chúng ta sẽ tính các đặc trưng kỳ vọng mẫu và phương sai mẫu cho biến ngẫu nhiên X và Y. - Đặc trưng kỳ vọng mẫu (sample mean) của X được tính bằng cách lấy tổng các giá trị của X chia cho số lượng mẫu: \[\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\] Trong trường hợp này, ta có bảng số liệu sau: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline X & Y \\ \hline 6 & 5 \\ \hline 6 & 6 \\ \hline 6 & 7 \\ \hline 5 & 8 \\ \hline 5 & 9 \\ \hline 5 & 10 \\ \hline 4 & 11 \\ \hline 4 & 12 \\ \hline 3 & 13 \\ \hline 3 & 14 \\ \hline 2 & 15 \\ \hline 2 & 16 \\ \hline 1 & 17 \\ \hline 1 & 18 \\ \hline \end{array} \] Tính tổng các giá trị của X: \[6 + 6 + 6 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 63\] Số lượng mẫu là 14, nên: \[\bar{X} = \frac{63}{14} \approx 4.5\] - Đặc trưng kỳ vọng mẫu (sample mean) của Y cũng được tính tương tự: \[\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i\] Tính tổng các giá trị của Y: \[5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 153\] Số lượng mẫu là 14, nên: \[\bar{Y} = \frac{153}{14} \approx 10.93\] - Phương sai mẫu (sample variance) của X được tính bằng công thức sau: \[s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\] Trong trường hợp này, ta có: \[(6-4.5)^2 + (6-4.5)^2 + (6-4.5)^2 + (5-4.5)^2 + (5-4.5)^2 + (5-4.5)^2 + (4-4.5)^2 + (4-4.5)^2 + (3-4.5)^2 + (3-4.5)^2 + (2-4.5)^2 + (2-4.5)^2 + (1-4.5)^2 + (1-4.5)^2 = 31.5\] Số lượng mẫu là 14, nên: \[s_X^2 = \frac{31.5}{14-1} \approx 2.321\] - Phương sai mẫu (sample variance) của Y cũng được tính tương tự: \[s_Y^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2\] Tính tổng các giá trị của Y: \[(5-10.93)^2 + (6-10.93)^2 + (7-10.93)^2 + (8-10.93)^2 + (9-10.93)^2 + (10-10.93)^2 + (11-10.93)^2 + (12-10.93)^2 + (13-10.93)^2 + (14-10.93)^2 + (15-10.93)^2 + (16-10.93)^2 + (17-10.93)^2 + (18-10.93)^2 = 62.857\] Số lượng mẫu là 14, nên: \[s_Y^2 = \frac{62.857}{14-1} \approx 4.489\] 2) Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm khoảng tin cậy đối xứng cho thời gian vui chơi trung bình của các học sinh với độ tin cậy 95%. Khoảng tin cậy đối xứng (confidence interval) được tính bằng công thức sau: \[\left(\bar{X} - E_{0.025}\sqrt{\frac{s_X^2}{n}}, \bar{X} + E_{0.025}\sqrt{\frac{s_X^2}{n}}\right)\] Trong trường hợp này, ta có: \[\left(4.5 - 1.96\sqrt{\frac{2.321}{14}}, 4.5 + 1.96\sqrt{\frac{2.321}{14}}\right) \approx (3.97, 5.03)\] 3) Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm định giả thuyết rằng thời gian vui chơi trung bình của các học sinh là 6 giờ/ngày với mức ý nghĩa 5%. Để kiểm định giả thuyết, chúng ta sẽ sử dụng phép kiểm định t với công thức sau: \[t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sqrt{\frac{s_X^2}{n}}}\] Trong trường hợp này, giả thuyết là $\mu_0 = 6$. Ta có: \[t = \frac{4.5 - 6}{\sqrt{\frac{2.321}{14}}} \approx -0.91\] Với mức ý nghĩa 5% và số bậc tự do là $n-1 = 14-1 = 13$, ta tìm giá trị t_critical từ bảng phân phối t và có giá trị xấp xỉ là $E_{0.05} = 1.65$. Ta so sánh giá trị t với giá trị t_critical để đưa ra kết luận. Trong trường hợp này, $t = -0.91 < -1.65$, nên ta không bác bỏ giả thuyết. Điều này có nghĩa là ý kiến rằng thời gian vui chơi trung bình của các học sinh là 6 giờ/ngày là phù hợp với thực tế. 4) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính hệ số tương quan mẫu cho biến ngẫu nhiên X và Y. Hệ số tương quan mẫu (sample correlation coefficient) được tính bằng công thức sau: \[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2}}\] Trong trường hợp này, ta có: \[\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (6-4.5)(5-10.93) + (6-4.5)(6-10.93) + \ldots + (1-4.5)(18-10.93) = -16.5\] \[\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} = \sqrt{(6-4.5)^2 + (6-4.5)^2 + \ldots + (1-4.5)^2} = 7.0\] \[\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2} = \sqrt{(5-10.93)^2 + (6-10.93)^2 + \ldots + (18-10.93)^2} = 19.0\] Vậy hệ số tương quan mẫu là: \[r = \frac{-16.5}{7.0 \times 19.0} \approx 0.1429\] 5) Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của thời gian học bài theo thời gian vui chơi của các học sinh. Phương trình hồi quy tuyến tính (linear regression equation) được tính bằng công thức sau: \[Y = a + bX\] Trong trường hợp này, ta có: \[b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} = \frac{-16.5}{7.0^2} \approx -0.3469\] \[a = \bar{Y} - b\bar{X} = 10.93 - (-0.3469 \times 4.5) \approx 12.55\] Vậy phương trình hồi quy tuyến tính là: \[Y = -0.3469X + 12.55\] Đây là các bước để giải quyết bài toán này.