a) So sánh hai biểu thức A và B biết A=10^15+1 / 10^16 +1 và B=10^16 +1 /10^17 + 1 b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24.

a) Để so sánh hai biểu thức A và B, ta cần tìm giá trị của chúng. Biểu thức A được cho bởi: \[A = \frac{10^{15}+1}{10^{16}+1}\] Biểu thức B được cho bởi: \[B = \frac{10^{16}+1}{10^{17}+1}\] Để tìm giá trị của A và B, ta có thể sử dụng phép chia để tính toán. Đầu tiên, ta tính giá trị của A: \[A = \frac{10^{15}+1}{10^{16}+1} = \frac{1}{10} \times \frac{10^{15}+1}{10^{16}+1}\] Tiếp theo, ta nhân tử số và mẫu số của phân số với \(10^{16}-1\): \[A = \frac{1}{10} \times \frac{(10^{15}+1)(10^{16}-1)}{(10^{16}+1)(10^{16}-1)}\] Sau đó, ta sử dụng công thức khai thác khối đa thức: \[A = \frac{1}{10} \times \frac{10^{31}-10^{15}+10^{16}-1}{10^{32}-1}\] Tiếp theo, ta rút gọn phân số: \[A = \frac{1}{10} \times \frac{10^{31}+10^{16}-10^{15}-1}{10^{32}-1}\] Cuối cùng, ta có: \[A = \frac{1}{10} \times \frac{10^{31}+10^{16}-10^{15}-1}{10^{32}-1} \approx \frac{1}{10}\] Tiếp theo, ta tính giá trị của B: \[B = \frac{10^{16}+1}{10^{17}+1} = \frac{1}{10} \times \frac{10^{16}+1}{10^{17}+1}\] Tương tự như trên, ta có: \[B = \frac{1}{10} \times \frac{10^{16}+1}{10^{17}+1} \approx \frac{1}{10}\] Vậy, ta có thể kết luận rằng A lớn hơn B. b) Để chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và (p-1)(p+1) không chia hết cho 24. Theo định lý Euclid, ta biết rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6k ± 1, với k là một số nguyên không âm. Do đó, ta có thể viết p dưới dạng 6k ± 1. Nếu p = 6k + 1, thì (p-1)(p+1) = (6k + 1 - 1)(6k + 1 + 1) = 6k(6k + 2) = 12k(3k + 1). Nếu p = 6k - 1, thì (p-1)(p+1) = (6k - 1 - 1)(6k - 1 + 1) = 6k(6k - 2) = 12k(3k - 1). Trong cả hai trường hợp, ta đều có 12 là một thừa số của (p-1)(p+1). Tuy nhiên, theo giả thiết, (p-1)(p+1) không chia hết cho 24. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì 12 là một thừa số của (p-1)(p+1) và 24 là bội số của 12. Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai và ta có thể kết luận rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24.