lim 4^n +2×3^n/5+3^n

Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán cùng với lý do cho các bước đó. Bài toán này là một bài toán về giới hạn của một hàm số khi n tiến tới vô cùng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng quy tắc l'Hopital, một quy tắc trong phân tích toán học giúp tính giới hạn của tỷ lệ hai hàm số khi cả hai đều tiến tới vô cùng hoặc cả hai đều tiến tới không. Quy tắc này hoạt động bằng cách lấy đạo hàm của cả tử số và mẫu số và sau đó tính giới hạn của tỷ lệ mới. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. Chú ý đặc biệt đến logic và lý do. Không cố gắng bịa ra câu trả lời nếu không chắc chắn. Đầu tiên, chúng ta cần kiểm tra xem liệu quy tắc l'Hopital có thể áp dụng được không. Điều kiện để áp dụng quy tắc này là cả tử số và mẫu số phải tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng. Trong trường hợp này, cả tử số $4^n + 2.3^n$ và mẫu số $5+3^n$ đều tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng, vì vậy chúng ta có thể áp dụng quy tắc l'Hopital. Chúng ta bắt đầu bằng cách lấy đạo hàm của cả tử số và mẫu số: Đạo hàm của $4^n + 2.3^n$ là $n4^{n-1} + 2.n3^{n-1}$. Đạo hàm của $5+3^n$ là $n3^{n-1}$. Sau đó, chúng ta tính giới hạn của tỷ lệ mới: $\lim_{n\to\infty}\frac{n4^{n-1} + 2.n3^{n-1}}{n3^{n-1}}$ Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho $n3^{n-1}$: $\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n-1} + 2}{3^{n-1}}$ Khi n tiến tới vô cùng, $4^{n-1}$ sẽ tiến tới vô cùng nhanh hơn $3^{n-1}$, vì vậy giới hạn của tỷ lệ này sẽ là vô cùng. Do đó, giới hạn của hàm số ban đầu là vô cùng.