a) Tính đạo hàm của các hàm số: y=cosx.e2tanx và y=log2(sin⁡x) b) Chứng minh rằng hàm số y=e4x+2.e-x thõa mãn hệ thức. y”’-13y’-12y=0

a) Để tính đạo hàm của các hàm số, ta sẽ sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc tích. 1. Đối với hàm số $y=\cos(x).e^{2\tan(x)}$, ta có thể viết nó như là một tích của hai hàm số: $f(x)=\cos(x)$ và $g(x)=e^{2\tan(x)}$. - Đạo hàm của $f(x)$ là $f'(x)=-\sin(x)$. - Đạo hàm của $g(x)$ là $g'(x)=2\sec^2(x)e^{2\tan(x)}$ (sử dụng quy tắc chuỗi với $u=2\tan(x)$). Sử dụng quy tắc tích, ta có đạo hàm của $y$ là: $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = -\sin(x)e^{2\tan(x)} + \cos(x)(2\sec^2(x)e^{2\tan(x)})$ 2. Đối với hàm số $y=\log_2(\sin(x))$, ta có thể viết nó như là $\frac{\ln(\sin(x))}{\ln(2)}$. - Đạo hàm của $\ln(\sin(x))$ là $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có đạo hàm của $y$ là: $y' = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\cot(x)}{\ln(2)}$ b) Để chứng minh rằng hàm số $y=e^{4x}+2e^{-x}$ thỏa mãn hệ thức $y'''-13y'-12y=0$, ta cần tính các đạo hàm bậc cao của $y$. - Đạo hàm bậc nhất của $y$ là $y'=4e^{4x}-2e^{-x}$. - Đạo hàm bậc hai của $y$ là $y''=16e^{4x}+2e^{-x}$. - Đạo hàm bậc ba của $y$ là $y'''=64e^{4x}-2e^{-x}$. Thay các giá trị này vào hệ thức, ta có: $y'''-13y'-12y = 64e^{4x}-2e^{-x} - 13(4e^{4x}-2e^{-x}) - 12(e^{4x}+2e^{-x}) = 0$ Vì vậy, hàm số $y=e^{4x}+2e^{-x}$ thỏa mãn hệ thức đã cho.