Hai câu của đường trung bình của tam giác

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Bài toán này thuộc loại bài toán về đường trung bình trong tam giác và các tính chất liên quan. Ý tưởng chính để giải bài toán này là sử dụng các tính chất của đường trung bình, hình thang và song song để chứng minh các mối quan hệ cần thiết. 2. Cách giải bài toán: a) Đầu tiên, ta cần chứng minh tứ giác BMNC là hình thang. Theo định nghĩa, hình thang là hình có một cặp cạnh đối song song. Trong tam giác ABC, M và N là trung điểm của AB và AC, nên theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có $BC // MN$ và $BC = 2MN$. Tương tự, ta cũng có $BC // BM$ và $BC = 2BM$. Vì vậy, $MN // BM$ và tứ giác BMNC là hình thang. b) Tiếp theo, ta cần xác định hình dạng của tứ giác MNPB. Do P là trung điểm của BC, nên $BP = PC$. Do M, N là trung điểm của AB, AC nên $AM = MB$, $AN = NC$. Vì vậy, $MB = NP$ và $BN = NP$. Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành. 4.8. a) Để chứng minh $DC // EM$, ta sử dụng tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Do $AD = DE = EB$, nên D là trung điểm của AB. Vì vậy, theo tính chất của đường trung tuyến, ta có $DC // ME$. b) Để chứng minh I là trung điểm của AM, ta cần chứng minh $AI = IM$. Do $DC // ME$ và DC cắt AM tại I, nên theo định lý Thales, ta có $\frac{AI}{IM} = \frac{AD}{DE} = 1$. Vì vậy, $AI = IM$ và I là trung điểm của AM.