Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là một bài toán về bất đẳng thức, sử dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức như phương pháp đặt giả thiết, phương pháp biến đổi hoặc phương pháp so sánh. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi.
2. Giải bài toán từng bước:
Bước 1: Đặt $a = x\sqrt{2}, b = y\sqrt{2}, c = z\sqrt{2}$ (với $x, y, z$ là các số thực dương). Khi đó, điều kiện ban đầu trở thành $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 1$ hay $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = \frac{1}{2}$.
Bước 2: Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức $x + y + z \leq \frac{3}{2}$.
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $(x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$.
Bước 4: Thay $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = \frac{1}{2}$ vào bất đẳng thức trên, ta được $(x + y + z)^2 \leq 3(\frac{1}{2} - 2xyz)$.
Bước 5: Điều này tương đương với $x + y + z \leq \sqrt{3(1 - 4xyz)}$.
Bước 6: Do $xyz \geq 0$ nên $1 - 4xyz \leq 1$ và do đó $\sqrt{3(1 - 4xyz)} \leq \sqrt{3}$.
Bước 7: Vậy, ta có $x + y + z \leq \sqrt{3} = \frac{3}{2}$.
Bước 8: Trở lại với các biến ban đầu, ta có $a + b + c \leq \frac{3}{2}$.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.