helpppppppppppppppppppp

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là một bài toán về bất đẳng thức, sử dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức như phương pháp đặt giả thiết, phương pháp biến đổi hoặc phương pháp so sánh. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi. 2. Giải bài toán từng bước: Bước 1: Đặt $a = x\sqrt{2}, b = y\sqrt{2}, c = z\sqrt{2}$ (với $x, y, z$ là các số thực dương). Khi đó, điều kiện ban đầu trở thành $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 1$ hay $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = \frac{1}{2}$. Bước 2: Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức $x + y + z \leq \frac{3}{2}$. Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $(x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$. Bước 4: Thay $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = \frac{1}{2}$ vào bất đẳng thức trên, ta được $(x + y + z)^2 \leq 3(\frac{1}{2} - 2xyz)$. Bước 5: Điều này tương đương với $x + y + z \leq \sqrt{3(1 - 4xyz)}$. Bước 6: Do $xyz \geq 0$ nên $1 - 4xyz \leq 1$ và do đó $\sqrt{3(1 - 4xyz)} \leq \sqrt{3}$. Bước 7: Vậy, ta có $x + y + z \leq \sqrt{3} = \frac{3}{2}$. Bước 8: Trở lại với các biến ban đầu, ta có $a + b + c \leq \frac{3}{2}$. Vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức.