Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
26/11/2023
26/11/2023
\begin{array}{l}
ab+bc+ca+abc=4\\
\Longrightarrow abc+2( ab+bc+ca) +4( a+b+c) +8=12+( ab+bc+ca) +4( a+b+c)\\
\Longrightarrow ( a+2)( b+2)( c+2) =( a+2)( b+2) +( b+2)( c+2) +( c+2)( a+2)\\
\Longrightarrow \frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} =1\\
\Longrightarrow \frac{2}{a+2} +\frac{2}{b+2} +\frac{2}{c+2} =2\\
\Longrightarrow 3-\left(\frac{2}{a+2} +\frac{2}{b+2} +\frac{2}{c+2}\right) =1\\
\Longrightarrow \frac{a}{a+2} +\frac{b}{b+2} +\frac{c}{c+2} =1\\
Đặt \\ x=\frac{a}{a+2} ; y=\frac{b}{b+2} ; z=\frac{c}{c+2}\\
khi \ đó \\ x+y+z=1 và \frac{1}{x} =\frac{a+2}{a} =1+\frac{2}{a}\\
\Longrightarrow \frac{2}{a} =\frac{1}{x} -1=\frac{1-x}{x} =\frac{y+z}{x}\\
\Longrightarrow a=\frac{2x}{y+z}\\
tương \ tự \\ b=\frac{2y}{z+x} ; c=\frac{2z}{x+y}\\
bất \ đẳng \ thức \ cần \ chứng \ minh \ trở \ thành\\
\sqrt{\frac{2x}{y+z} .\frac{2y}{z+x}} +\sqrt{\frac{2y}{z+x} +\frac{2z}{x+y}} +\sqrt{\frac{2x}{y+z} +\frac{2z}{x+y}} \leqslant 3\\
\Longrightarrow 2\sqrt{\frac{x}{y+z} .\frac{y}{z+x}} +2\sqrt{\frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y}} +2\sqrt{\frac{x}{y+z} +\frac{z}{x+y}} \leqslant 3\\
Theo \ BĐT AM - GM, \ ta \ có:\\
2\sqrt{\frac{x}{y+z} .\frac{y}{z+x}} \leqslant \frac{x}{y+z} +\frac{y}{z+x} ( 1)\\
tương \ tự \\ 2\sqrt{\frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y}} \leqslant \frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y}( 2)\\
2\sqrt{\frac{x}{y+z} +\frac{z}{x+y}} \leqslant \frac{x}{y+z} +\frac{z}{x+y} ( 3)\\
từ ( 1) , ( 2) , ( 3) ta \ được:\\
2\sqrt{\frac{x}{y+z} .\frac{y}{z+x}} +2\sqrt{\frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y}} +2\sqrt{\frac{x}{y+z} +\frac{z}{x+y}} \leqslant \frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y} +\frac{x}{y+z} +\frac{y}{z+x} +\frac{x}{y+z} +\frac{z}{x+y} \leqslant 3 \\
( dpcm)\\
\\
xảy \ ra \ khi \ x=y=z=\frac{1}{3} \Longrightarrow a=b=c=1
\end{array}
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
8 giờ trước
8 giờ trước
9 giờ trước
Top thành viên trả lời