Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2+1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và một đường thẳng. Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là tìm ra phương trình của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(2; 5) và sau đó tính diện tích giữa đường cong và đường thẳng. Các bước logic để giải quyết vấn đề này như sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = x^2 + 1. 2. Thay x = 2 vào đạo hàm để tìm góc của đường tiếp tuyến. 3. Dùng góc và điểm M(2; 5) để tìm phương trình của đường tiếp tuyến. 4. Tính diện tích giữa đường cong và đường thẳng bằng cách tính tích phân từ a đến b của hàm số (đường cong - đường thẳng). Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này từng bước một. 1. Đạo hàm của hàm số y = x^2 + 1 là y' = 2x. 2. Thay x = 2 vào đạo hàm, ta được y' = 2*2 = 4. Vậy góc của đường tiếp tuyến là 4. 3. Phương trình của đường tiếp tuyến qua điểm M(2; 5) với góc 4 là y - 5 = 4(x - 2), hay y = 4x - 3. 4. Diện tích giữa đường cong y = x^2 + 1 và đường thẳng y = 4x - 3 từ x = 0 đến x = 2 là \[\int_{0}^{2} [(x^2 + 1) - (4x - 3)] dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx\] Tính phần này, ta được: \[= \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}\] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^2+1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy là \(\frac{8}{3}\).