Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
02/12/2023
02/12/2023
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
C_{n}^{3} =\frac{n!}{3!( n-3) !} =\frac{n( n-1)( n-2)}{6} \Rightarrow \frac{1}{C_{n}^{3}} =\frac{6}{n( n-1)( n-2)}\\
S_{n} =\frac{6}{1.2.3} +\frac{6}{2.3.4} +\frac{6}{3.4.5} +...+\frac{6}{( n-2)( n-1) n} =6\left(\frac{1}{1.2.3} +\frac{1}{2.3.4} +\frac{1}{3.4.5} +...+\frac{1}{( n-2)( n-1) n}\right)
\end{array}$
Xét dãy $\displaystyle ( u_{k}) :\ u_{k} =\frac{1}{( k-2)( k-1) k} =\frac{1}{2} .\frac{1}{k-1}\left(\frac{1}{k-2} -\frac{1}{k}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k-1} .\frac{1}{k-2} -\frac{1}{k-1} .\frac{1}{k}\right)$
Suy ra:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{1.2.3} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2} -\frac{1}{2.3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{6}\right)\\
\frac{1}{2.3.4} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3} -\frac{1}{3.4}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6} -\frac{1}{12}\right)\\
...\\
\frac{1}{( n-2)( n-1) n} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{( n-2)( n-1)} -\frac{1}{( n-1) n}\right)\\
\Rightarrow S_{n} =6.\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{n( n-1)}\right) =3\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{n( n-1)}\right)
\end{array}$
Vậy $\displaystyle \lim S_{n} =\lim \left[ 3\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{n( n-1)}\right)\right] =\frac{3}{2}$
02/12/2023
Thái VũBài toán này thuộc loại bài toán về giới hạn của dãy số và sử dụng công thức tổ hợp.
Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và áp dụng công thức tổ hợp.
1. Đầu tiên, ta nhận ra rằng nC3
có thể viết lại dưới dạng n(n−1)(n−2)6
. Vì vậy, ta có thể viết lại Sn
như sau: Sn
=13∗2∗1+14∗3∗2+15∗4∗3+⋯+1n∗(n−1)∗(n−2)
.
2. Tiếp theo, ta nhận ra rằng biểu thức trên có thể viết lại dưới dạng tổng các phân số hữu hạn. Ta có thể viết lại Sn
như sau: Sn
=(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n−1−1n)
.
3. Cuối cùng, ta nhận ra rằng tất cả các số hạng trung gian đều bị triệt tiêu, và ta chỉ còn lại Sn
=12−1n
.
4. Khi n tiến tới vô cùng, giới hạn của Sn
sẽ là limn→∞Sn
=12−0
=12
.
Vậy, giới hạn của dãy số Sn
khi n tiến tới vô cùng là 12
.
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
07/09/2024
Top thành viên trả lời