Tìm cực trị của hàm số sau:

1. Đây là một bài toán tìm cực trị của hàm số. Cực trị là các giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Để tìm cực trị, ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại, và kiểm tra sự biến thiên của hàm số xung quanh các điểm này. 2. a) Để tìm cực trị của hàm số $y = x\sqrt{4-x^2}$, ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số này: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{4-x^2})$ Để tính đạo hàm của $\sqrt{4-x^2}$, ta sử dụng quy tắc chuỗi: $\frac{d}{dx}(\sqrt{4-x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(4-x^2)$ $= \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x)$ $= -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$ Thay vào công thức đạo hàm ban đầu, ta có: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$ Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, ta giải phương trình: $\sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = 0$ Nhân cả hai vế của phương trình với $\sqrt{4-x^2}$, ta có: $(4-x^2) - x^2 = 0$ $4 - 2x^2 = 0$ $2x^2 = 4$ $x^2 = 2$ $x = \pm \sqrt{2}$ Ta cần kiểm tra sự biến thiên của hàm số xung quanh các điểm này. Để làm điều này, ta xây dựng bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & $(-\infty, -\sqrt{2})$ & $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ & $(\sqrt{2}, \infty)$ \\ \hline $\sqrt{4-x^2}$ & + & + & - \\ \hline $-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$ & - & - & + \\ \hline $\frac{dy}{dx}$ & + & - & - \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm của hàm số $y = x\sqrt{4-x^2}$ đổi dấu từ dương thành âm khi $x$ đi qua $\sqrt{2}$. Vì vậy, ta có một điểm cực đại tại $x = \sqrt{2}$. Để kiểm tra xem điểm này là cực đại hay không, ta xét giá trị của hàm số tại điểm này: $y = \sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{2}^2} = \sqrt{2}\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\sqrt{2} = 2$ Vậy, hàm số $y = x\sqrt{4-x^2}$ có một điểm cực đại tại $(\sqrt{2}, 2)$. b) Để tìm cực trị của hàm số $y = \sqrt{8-x^2}$, ta cũng cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại. Tương tự như trên, ta tính đạo hàm của hàm số này: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{8-x^2}}$ Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, ta giải phương trình: $-\frac{x}{\sqrt{8-x^2}} = 0$ $x = 0$ Ta xây dựng bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline & $(-\infty, 0)$ & $(0, \infty)$ \\ \hline $-\frac{x}{\sqrt{8-x^2}}$ & - & + \\ \hline $\frac{dy}{dx}$ & - & + \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{8-x^2}$ đổi dấu từ âm thành dương khi $x$ đi qua 0. Vì vậy, ta có một điểm cực tiểu tại $x = 0$. Để kiểm tra xem điểm này là cực tiểu hay không, ta xét giá trị của hàm số tại điểm này: $y = \sqrt{8-0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ Vậy, hàm số $y = \sqrt{8-x^2}$ có một điểm cực tiểu tại $(0, 2\sqrt{2})$. c) Để tìm cực trị của hàm số $y = x - \sin(2x) + 2$, ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số này: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{d}{dx}(\sin(2x))$ Để tính đạo hàm của $\sin(2x)$, ta sử dụng quy tắc chuỗi: $\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x)$ Thay vào công thức đạo hàm ban đầu, ta có: $\frac{dy}{dx} = 1 - 2\cos(2x)$ Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, ta giải phương trình: $1 - 2\cos(2x) = 0$ $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ hoặc $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, với $k$ là số nguyên. $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ hoặc $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta cần kiểm tra sự biến thiên của hàm số xung quanh các điểm này. Để làm điều này, ta xây dựng bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & $(-\infty, -\frac{\pi}{6})$ & $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ & $(\frac{\pi}{6}, \infty)$ \\ \hline $1 - 2\cos(2x)$ & + & - & + \\ \hline $\frac{dy}{dx}$ & + & - & + \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm của hàm số $y = x - \sin(2x) + 2$ đổi dấu từ dương thành âm khi $x$ đi qua $\frac{\pi}{6}$. Vì vậy, ta có một điểm cực đại tại $x = \frac{\pi}{6}$. Để kiểm tra xem điểm này là cực đại hay không, ta xét giá trị của hàm số tại điểm này: $y = \frac{\pi}{6} - \sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}\right) + 2 = \frac{\pi}{6} - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 2 = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$ Vậy, hàm số $y = x - \sin(2x) + 2$ có một điểm cực đại tại $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)$. d) Để tìm cực trị của hàm số $y = 3 - 2\cos(x) - \cos(2x)$, ta cũng cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại. Tương tự như trên, ta tính đạo hàm của hàm số này: $\frac{dy}{dx} = 2\sin(x) + 2\sin(2x)$ Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, ta giải phương trình: $2\sin(x) + 2\sin(2x) = 0$ $\sin(x) + \sin(2x) = 0$ Sử dụng công thức $\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$, ta có: $2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ Từ đó, ta có hai trường hợp: 1) $\sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0$ $\frac{3x}{2} = k\pi$, với $k$ là số nguyên. $x = \frac{2k\pi}{3}$, với $k$ là số nguyên. 2) $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên. $x = \pi + 2k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta cần kiểm tra sự biến thiên của hàm số xung quanh các điểm này. Để làm điều này, ta xây dựng bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & $(-\infty, \frac{2\pi}{3})$ & $(\frac{2\pi}{3}, \pi)$ & $(\pi, \frac{4\pi}{3})$ & $(\frac{4\pi}{3}, \infty)$ \\ \hline $2\sin(x) + 2\sin(2x)$ & + & - & + & - \\ \hline $\frac{dy}{dx}$ & + & - & + & - \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm của hàm số $y = 3 - 2\cos(x) - \cos(2x)$ đổi dấu từ dương thành âm khi $x$ đi qua $\frac{2\pi}{3}$ và $\frac{4\pi}{3}$. Vì vậy, ta có hai điểm cực đại tại $x = \frac{2\pi}{3}$ và $x = \frac{4\pi}{3}$. Để kiểm tra xem các điểm này là cực đại hay không, ta xét giá trị của hàm số tại các điểm này: $y = 3 - 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{3}\right) = 3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 4$ $y = 3 - 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) - \cos\left(2\cdot\frac{4\pi}{3}\right) = 3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 4$ Vậy, hàm số $y = 3 - 2\cos(x) - \cos(2x)$ có hai điểm cực đại tại $\left(\frac{2\pi}{3}, 4\right)$ và $\left(\frac{4\pi}{3}, 4\right)$. Đây là các bước để giải quyết bài toán tìm cực trị của các hàm số đã cho.