Bài 1. Giải các phương trình sau:

Bài toán 1a: Giải phương trình $log_3(x^2+x+3)=1$. Bước 1: Đặt $y = x^2 + x + 3$. Ta có $log_3(y) = 1$. Bước 2: Vì $log_3(y) = 1$, nghĩa là $y = 3^1 = 3$. Bước 3: Giải phương trình $x^2 + x + 3 = 3$. Bước 4: Chuyển phương trình về dạng bình phương: $x^2 + x = 0$. Bước 5: Rút gọn biểu thức: $x(x + 1) = 0$. Bước 6: Áp dụng tính chất của nhân số: $x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$. Bước 7: Giải hệ phương trình: $x = 0$ hoặc $x = -1$. Vậy, phương trình ban đầu có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = -1$. Bài toán 1b: Giải phương trình $2^{x+1} = 8$. Bước 1: Chuyển phương trình về dạng cơ số chung: $2^{x+1} = 2^3$. Bước 2: Áp dụng tính chất của lũy thừa: $x + 1 = 3$. Bước 3: Giải phương trình: $x = 2$. Vậy, phương trình ban đầu có một nghiệm là $x = 2$. Bài toán 2a: Giải bất phương trình $5^{x-1} \geq 5^{x^2-x-9}$. Bước 1: Đặt $y = x^2 - x - 9$. Ta có $5^{x-1} \geq 5^y$. Bước 2: Áp dụng tính chất của lũy thừa: $5^{x-1} \geq 5^y$. Bước 3: Chuyển phương trình về dạng cơ số chung: $5^{x-1} \geq 5^{x^2 - x - 9}$. Bước 4: Áp dụng tính chất của lũy thừa: $x - 1 \geq x^2 - x - 9$. Bước 5: Chuyển phương trình về dạng bình phương: $x^2 - 2x + 8 \leq 0$. Bước 6: Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình: $x = 2$. Vậy, bất phương trình ban đầu có một nghiệm là $x = 2$. Bài toán 2b: Giải bất phương trình $log^2_2x - 5log_2x + 4 \geq 0$. Bước 1: Đặt $y = log_2x$. Ta có $y^2 - 5y + 4 \geq 0$. Bước 2: Giải phương trình bậc hai: $(y-1)(y-4) \geq 0$. Bước 3: Tìm các giá trị của $y$ thỏa mãn bất phương trình: $1 \leq y \leq 4$. Bước 4: Áp dụng tính chất của logarit: $1 \leq log_2x \leq 4$. Bước 5: Chuyển phương trình về dạng mũ: $2^1 \leq x \leq 2^4$. Bước 6: Tính toán giá trị: $2 \leq x \leq 16$. Vậy, bất phương trình ban đầu có nghiệm trong khoảng từ $2$ đến $16$.