Cho tam giác ABC biết góc ABC = 70 độ ,góc ACB= 50 độ . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho góc ABM = 20 độ , trên cạnh AB lấy điểm N sao cho góc ACN = 10 độ . Gọi P là giao điểm của BM và CN . Chứng minh rằng MN= 2PM

Question

quynhanhnguyen · Accepted Answer

Xét tam giác PBC có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{PBC} =70^{o} -20^{o} =50^{o}\
\widehat{PCB} =50^{o} -10^{o} =40^{o}\
\Rightarrow \widehat{BPC} =90^{o}
\end{array}$
Trong tam giác AMB kẻ MK sao cho $\displaystyle \widehat{AKM} =60^{o}$
$\displaystyle \widehat{KAM} =180^{o} -70^{o} -50^{o} =60^{o}$
Suy ra tam giác AKM đều
$\displaystyle \widehat{AKM} =\widehat{ABM} +\widehat{KMB}$ (tính chất góc ngoài)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{KMB} =\widehat{AKM} -\widehat{ABM} =60^{o} -20^{o} =40^{o}\
\Rightarrow \widehat{BMN} =60^{o}
\end{array}$
Xét tam giác MNP vuông tại P (do $\displaystyle \widehat{BPC} =90^{o}$)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{BMN} =60^{o}\
\widehat{MNP} =30^{o}
\end{array}$
Suy ra MN=2PM (trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán về tam giác và giao điểm của các đường thẳng trong tam giác. Chúng ta cần chứng minh rằng độ dài MN bằng gấp đôi độ dài PM.

Các bước để giải quyết bài toán này là:
- Sử dụng các góc đã cho để tính các góc khác trong tam giác ABC.
- Sử dụng các góc đã cho để tính các góc khác trong tam giác ABM và ACN.
- Sử dụng các góc đã tính được để tìm các đường thẳng BM và CN.
- Sử dụng định lý giao điểm của hai đường thẳng để tìm giao điểm P.
- Tính độ dài MN và PM và chứng minh rằng MN = 2PM.

2. Giải quyết từng bước một:

Bước 1: Tính các góc trong tam giác ABC
Góc BAC = 180 - góc ABC - góc ACB = 180 - 70 - 50 = 60 độ

Bước 2: Tính các góc trong tam giác ABM và ACN
Góc BAM = góc BAC - góc CAM = 60 - 20 = 40 độ
Góc CAN = góc BAC - góc BAN = 60 - 10 = 50 độ

Bước 3: Tìm các đường thẳng BM và CN
Đường thẳng BM là đường thẳng đi qua B và M, nên ta có thể sử dụng góc BAM để tính hệ số góc của BM.
Hệ số góc của BM = tan(góc BAM) = tan(40 độ)

Đường thẳng CN là đường thẳng đi qua C và N, nên ta có thể sử dụng góc CAN để tính hệ số góc của CN.
Hệ số góc của CN = tan(góc CAN) = tan(50 độ)

Bước 4: Tìm giao điểm P của BM và CN
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
y = \text{hệ số góc của BM} \cdot x + b_1 \
y = \text{hệ số góc của CN} \cdot x + b_2
\end{cases}
$$
trong đó $b_1$ và $b_2$ là các hệ số góc của BM và CN.

Bước 5: Tính độ dài MN và PM
Để tính độ dài MN, ta cần tìm tọa độ của M và N. Sau đó, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm để tính độ dài MN.

Để tính độ dài PM, ta cần tìm tọa độ của P. Sau đó, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm để tính độ dài PM.

Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh rằng MN = 2PM bằng cách so sánh độ dài của hai đoạn thẳng.

Cho tam giác ABC biết góc ABC = 70 độ ,góc ACB= 50 độ . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho góc ABM = 20 độ , trên cạnh AB lấy điểm N sao cho góc ACN = 10 độ . Gọi P là giao điểm của BM và CN . Chứng minh...