giải giúp tôi bài ni

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm về hình học và đại số. Hãy làm theo các bước sau: Bước 1: Vẽ hình tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Đặt tên các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB. Bước 2: Ta biết rằng BM = 2MC và CN = 3NA. Đặt BM = x và MC = $\frac{1}{2}$x. Đặt CN = y và NA = $\frac{1}{3}$y. Bước 3: Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên ta có AM = BM = x. Bước 4: Ta cần chứng minh AM vuông góc với NP. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông. Bước 5: Gọi H là hình chiếu của M lên NP. Ta cần chứng minh AH = x. Bước 6: Ta biết rằng trong tam giác vuông AMN, ta có $AN^2 = AM^2 + MN^2$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có $\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = x^2 + \left(\frac{1}{3}x\right)^2$. Bước 7: Giải phương trình trên để tìm giá trị của x. Ta có $\frac{1}{9}y^2 = x^2 + \frac{1}{9}x^2$. Kết hợp các thành phần tương tự, ta có $\frac{10}{9}x^2 = \frac{1}{9}y^2$. Từ đó suy ra $x^2 = \frac{1}{10}y^2$. Bước 8: Thay giá trị của x vào công thức BM = x, ta có BM = $\sqrt{\frac{1}{10}}y$. Bước 9: Ta biết rằng trong tam giác vuông CNP, ta có $CP^2 = CN^2 + NP^2$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có $\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = \left(\frac{1}{3}y\right)^2 + NP^2$. Bước 10: Giải phương trình trên để tìm giá trị của NP. Ta có $\frac{1}{9}y^2 = \frac{1}{9}y^2 + NP^2$. Loại bỏ các thành phần tương tự, ta có $NP^2 = 0$. Từ đó suy ra NP = 0. Bước 11: Vì NP = 0, nên ta có AM vuông góc với NP. Bước 12: Để tìm tỉ số $\frac{AP}{AB}$, ta cần tính độ dài của AP và AB. Bước 13: Ta biết rằng trong tam giác vuông AMN, ta có $AN^2 = AM^2 + MN^2$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có $\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = x^2 + \left(\frac{1}{3}x\right)^2$. Bước 14: Giải phương trình trên để tìm giá trị của x. Ta có $\frac{1}{9}y^2 = x^2 + \frac{1}{9}x^2$. Kết hợp các thành phần tương tự, ta có $\frac{10}{9}x^2 = \frac{1}{9}y^2$. Từ đó suy ra $x^2 = \frac{1}{10}y^2$. Bước 15: Thay giá trị của x vào công thức AM = x, ta có AM = $\sqrt{\frac{1}{10}}y$. Bước 16: Ta biết rằng trong tam giác vuông AHP, ta có $AH^2 = AP^2 + PH^2$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có $\left(\sqrt{\frac{1}{10}}y\right)^2 = AP^2 + \left(\frac{1}{2}x\right)^2$. Bước 17: Giải phương trình trên để tìm giá trị của AP. Ta có $\frac{1}{10}y^2 = AP^2 + \frac{1}{4}x^2$. Kết hợp các thành phần tương tự, ta có $\frac{1}{10}y^2 = AP^2 + \frac{1}{40}y^2$. Từ đó suy ra $AP^2 = \frac{3}{40}y^2$. Bước 18: Ta biết rằng trong tam giác ABC, ta có $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có $1^2 = \left(\frac{1}{3}y\right)^2 + \left(\frac{1}{2}x\right)^2$. Bước 19: Giải phương trình trên để tìm giá trị của x và y. Ta có $1 = \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{4}x^2$. Kết hợp các thành phần tương tự, ta có $\frac{4}{36}y^2 + \frac{9}{36}x^2 = 1$. Từ đó suy ra $\frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{36}$. Bước 20: Từ phương trình $\frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{36}$, ta có thể suy ra giá trị của $x^2$ và $y^2$. Bước 21: Thay giá trị của $x^2$ và $y^2$ vào công thức $AP^2 = \frac{3}{40}y^2$, ta có thể tính được giá trị của $AP^2$. Bước 22: Tính căn bậc hai của $AP^2$ để tìm giá trị của AP. Bước 23: Tính tỉ số $\frac{AP}{AB}$ bằng cách chia giá trị của AP cho giá trị của AB. Bước 24: Kết quả cuối cùng là giá trị của tỉ số $\frac{AP}{AB}$.