tính giới hạn hàm số sau ( sử dụng liên hợp )

1. Đây là một bài toán tính giới hạn của một hàm số khi x tiến đến 3. Chúng ta sẽ sử dụng phép liên hợp để giải quyết bài toán này. Ý tưởng chính và các bước logic để giải quyết bài toán: - Bước 1: Ta sẽ thay thế x bằng 3 trong biểu thức ban đầu. - Bước 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi thay thế x bằng 3. - Bước 3: Kiểm tra xem giá trị thu được có hợp lệ hay không. Nếu có, đó chính là giới hạn của hàm số khi x tiến đến 3. Nếu không, ta cần áp dụng các phép biến đổi khác để giải quyết bài toán. 2. Giải quyết bài toán theo từng bước: Bước 1: Thay thế x bằng 3 trong biểu thức ban đầu: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{3x}-3} = \frac{\sqrt{3+1}-2}{\sqrt{3\cdot3}-3}\] Bước 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi thay thế x bằng 3: \[\frac{\sqrt{4}-2}{\sqrt{9}-3} = \frac{2-2}{3-3} = \frac{0}{0}\] Bước 3: Kiểm tra giá trị thu được. Ta thấy rằng biểu thức cuối cùng là $\frac{0}{0}$, đây là một dạng không xác định. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các phép biến đổi khác. Một cách tiếp cận để giải quyết bài toán này là sử dụng phép nhân và chia tử và mẫu với biểu thức liên quan để loại bỏ dạng không xác định. Ta nhân và chia tử và mẫu với biểu thức liên quan: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{3x}-3} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} \cdot \frac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3}\] Sau khi nhân và chia tử và mẫu, ta có: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt{x+1})^2-2^2}{(\sqrt{3x})^2-3^2} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{x+1-4}{3x-9}\] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức sau khi loại bỏ dạng không xác định: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{3x-9}\] Bước 5: Thay thế x bằng 3 trong biểu thức trên: \[\frac{3-3}{3\cdot3-9} = \frac{0}{0}\] Bước 6: Kiểm tra giá trị thu được. Ta thấy rằng biểu thức cuối cùng vẫn là $\frac{0}{0}$, vẫn là một dạng không xác định. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng phép biến đổi khác. Một cách tiếp cận để giải quyết bài toán này là sử dụng phép chia tử và mẫu cho x-3 để loại bỏ dạng không xác định. Ta chia tử và mẫu cho x-3: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{3x-9} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{3(x-3)}\] Bước 7: Tính giá trị của biểu thức sau khi loại bỏ dạng không xác định: \[\lim_{x\rightarrow3}\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\] Bước 8: Kiểm tra giá trị thu được. Ta thấy rằng giá trị cuối cùng là $\frac{1}{3}$, đây chính là giới hạn của hàm số khi x tiến đến 3. Vậy, $\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{3x}-3} = \frac{1}{3}$.