......................

1. Đây là một bài toán tích phân, cụ thể là tích phân xác định. Chúng ta cần tính giá trị của tích phân $\int\limits_0^\frac{\mathrm\pi}2e^x\sin xdx$ từ 0 đến $\frac{\pi}{2}$. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phép tích phân theo phần tử và áp dụng công thức tích phân bằng phần tử. 2. Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức tích phân bằng phần tử: $\int e^x \sin x dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$ Bước 2: Tính tích phân $\int e^x \cos x dx$ bằng cách áp dụng lại công thức tích phân bằng phần tử: $\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$ Bước 3: Giải phương trình thu được từ bước 2 để tìm giá trị của $\int e^x \sin x dx$: $\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(e^x \sin x - e^x \cos x)$ Bước 4: Tính giá trị của $\int\limits_0^\frac{\mathrm\pi}2e^x\sin xdx$ bằng cách thay giá trị của $x$ vào công thức từ bước 3: $\int\limits_0^\frac{\mathrm\pi}2e^x\sin xdx = \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2})$ Bước 5: Tính giá trị cuối cùng: $\int\limits_0^\frac{\mathrm\pi}2e^x\sin xdx = \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} - 0) = \frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}}$ Vậy, giá trị của tích phân $\int\limits_0^\frac{\mathrm\pi}2e^x\sin xdx$ là $\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}}$.