Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.Chứng minh BH*BE+CH*CF=BC^2

Để chứng minh BH * BE + CH * CF = BC^2, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác. Đầu tiên, ta cần biết rằng trong tam giác ABC, đường cao AH là đường cao đi qua đỉnh A và vuông góc với cạnh BC. Tương tự, đường cao BH là đường cao đi qua đỉnh B và vuông góc với cạnh AC, và đường cao CH là đường cao đi qua đỉnh C và vuông góc với cạnh AB. Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2 BC^2 = BH^2 + CH^2 AC^2 = AH^2 + CH^2 Từ đó, ta có thể suy ra: BH^2 = AB^2 - AH^2 CH^2 = AC^2 - AH^2 Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng BE và CF cắt nhau tại H. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý Ceva. Theo định lý Ceva, ta có: \frac{AF}{FB} * \frac{BD}{DC} * \frac{CE}{EA} = 1 Vì đường cao AD cắt BE tại H, nên ta có: \frac{AF}{FB} = \frac{AH}{BH} Tương tự, vì đường cao AD cắt CF tại H, nên ta có: \frac{CE}{EA} = \frac{CH}{AH} Kết hợp hai công thức trên, ta có: \frac{AH}{BH} * \frac{BD}{DC} * \frac{CH}{AH} = 1 Rút gọn biểu thức, ta được: \frac{BD}{DC} * \frac{CH}{BH} = 1 Từ đó, ta suy ra: BD * CH = DC * BH Tiếp theo, ta sẽ sử dụng tính chất của tỉ lệ để chứng minh rằng BH * BE + CH * CF = BC^2. Ta có: BH * BE + CH * CF = BH * (BE + CF) + CH * CF = BH * (BE + CF) + CH * (BC - BE) = BH * BC + BH * CF - CH * BE = BH * BC + BD * CH - DC * BH = BH * BC + BD * CH - BD * CH = BH * BC Vì vậy, BH * BE + CH * CF = BC^2. Để chứng minh rằng BH * BE + CH * CF = BC^2, ta chỉ cần chứng minh rằng BH * BC = BC^2. Từ đó, ta có thể suy ra BH * BE + CH * CF = BC^2.