Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
18/12/2023
18/12/2023
Điều kiện: $\displaystyle x\ >\ 2;\ y\ >\ 1$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{36}{\sqrt{x-2}} +\frac{4}{\sqrt{y-1}} =28-4\sqrt{x-2} -\sqrt{y-1} \Leftrightarrow \frac{36}{\sqrt{x-2}} +\frac{4}{\sqrt{y-1}} +4\sqrt{x-2} +\sqrt{y-1} =28\\
\Leftrightarrow 4\left(\frac{9}{\sqrt{x-2}} +\sqrt{x-2}\right) +\left(\frac{4}{\sqrt{y-1}} +\sqrt{y-1}\right) =28
\end{array}$
Với $\displaystyle x\ >\ 2$ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương $\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x-2}}$; $\displaystyle \sqrt{x-2}$ ta có:
$\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x-2}} +\sqrt{x-2} \geqslant 2.\sqrt{\frac{9}{\sqrt{x-2}} .\sqrt{x-2}} =2.3=6$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x-2}} =\sqrt{x-2} \Leftrightarrow x=11$
Với $\displaystyle y >\ 1$ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{y-1}} ;\sqrt{y-1}$ ta có:
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{y-1}} +\sqrt{y-1} \geqslant 2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-1}} .\sqrt{y-1}} =2.2=4$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle \frac{4}{\sqrt{y-1}} =\sqrt{y-1} \Leftrightarrow y=5$
Do đó, $\displaystyle 4\left(\frac{9}{\sqrt{x-2}} +\sqrt{x-2}\right) +\left(\frac{4}{\sqrt{y-1}} +\sqrt{y-1}\right) \geqslant 4.6+4=28$
Vậy, $\displaystyle x=11;\ y=5$
⟹ Tổng $\displaystyle x+y=11+5=16$
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
07/09/2024
Top thành viên trả lời