Chứng minh rằng: (5n - 2)^2 - (2n - 5)^2 luôn chia hết cho 21 với mọi giá trị nguyên của n

Để chứng minh rằng biểu thức (5n - 2)^2 - (2n - 5)^2 luôn chia hết cho 21 với mọi giá trị nguyên của n, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp. Bước 1: Kiểm tra điều kiện cơ sở Khi n = 0, ta có: (5*0 - 2)^2 - (2*0 - 5)^2 = (-2)^2 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21 Vì -21 chia hết cho 21, nên điều kiện cơ sở đúng. Bước 2: Giả sử đúng với n = k Giả sử khi n = k, ta có: (5k - 2)^2 - (2k - 5)^2 chia hết cho 21. Bước 3: Chứng minh đúng với n = k + 1 Khi n = k + 1, ta có: (5(k + 1) - 2)^2 - (2(k + 1) - 5)^2 = (5k + 3)^2 - (2k + 3)^2 = (25k^2 + 30k + 9) - (4k^2 + 12k + 9) = 21k^2 + 18k = 21(k^2 + k) Vì (k^2 + k) là một số nguyên, nên (5(k + 1) - 2)^2 - (2(k + 1) - 5)^2 chia hết cho 21. Bước 4: Kết luận Do đã chứng minh được điều kiện cơ sở đúng và giả sử đúng với n = k dẫn đến đúng với n = k + 1, nên biểu thức (5n - 2)^2 - (2n - 5)^2 luôn chia hết cho 21 với mọi giá trị nguyên của n.