<p>Phân tích đa thức thành nhân tử:</p><p>a) $\displaystyle 25x^{2} -30xy+9y^{2}$<br>b) $\displaystyle 64x^{4} -25$<br>c) $\displaystyle 27x^{3} -135x^{2} +225x-125$<br>d) $\displaystyle 8x^{6} +343$</...

1. Đây là bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Chúng ta cần tìm các nhân tử của đa thức đã cho bằng cách sử dụng các phương pháp phân tích đa thức. 2. a) Để phân tích đa thức $\displaystyle 25x^{2} -30xy+9y^{2}$ thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai pháp binomial (binomial expansion). Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng đa thức này có dạng của một binomial bình phương: $\displaystyle ( ax+by)^{2} =a^{2} x^{2} +2abxy+b^{2} y^{2}$ So sánh với đa thức đã cho, ta có: $\displaystyle a^{2} =25$ $\displaystyle 2ab=-30$ $\displaystyle b^{2} =9$ Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$. Ta có: $\displaystyle a=\sqrt{25} =5$ $\displaystyle b=\pm \sqrt{9} =\pm 3$ Vậy, đa thức $\displaystyle 25x^{2} -30xy+9y^{2}$ có thể được phân tích thành nhân tử như sau: $\displaystyle 25x^{2} -30xy+9y^{2} =( 5x-3y)( 5x-3y)$ b) Để phân tích đa thức $\displaystyle 64x^{4} -25$ thành nhân tử, chúng ta nhận thấy rằng đa thức này có dạng của một khai triển binomial: $\displaystyle ( ax+by)( cx+dy) =acx^{2} +( ad+bc) xy+bdy^{2}$ So sánh với đa thức đã cho, ta có: $\displaystyle ac=64$ $\displaystyle ad+bc=0$ $\displaystyle bd=-25$ Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ và $\displaystyle d$. Ta có: $\displaystyle ac=64\Rightarrow a=\dfrac{64}{c}$ $\displaystyle bd=-25\Rightarrow d=\dfrac{-25}{b}$ Thay vào phương trình $\displaystyle ad+bc=0$, ta có: $\displaystyle \dfrac{64}{c} \cdot \dfrac{-25}{b} +bc=0$ $\displaystyle \dfrac{-1600}{bc} +bc=0$ $\displaystyle -1600+b^{2} c^{2} =0$ $\displaystyle b^{2} c^{2} =1600$ $\displaystyle bc=\pm \sqrt{1600} =\pm 40$ Vậy, đa thức $\displaystyle 64x^{4} -25$ có thể được phân tích thành nhân tử như sau: $\displaystyle 64x^{4} -25 =( 8x^{2} +5)( 8x^{2} -5)$ c) Để phân tích đa thức $\displaystyle 27x^{3} -135x^{2} +225x-125$ thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia đa thức. Đầu tiên, chúng ta tìm một giá trị $\displaystyle r$ sao cho $\displaystyle r$ là một nghiệm của đa thức đã cho. Ta có thể thử các giá trị nguyên từ $\displaystyle -10$ đến $\displaystyle 10$. Thử với $\displaystyle r=1$, ta có: $\displaystyle ( x-1)( 27x^{2} -108x+117) =0$ Tiếp theo, chúng ta phân tích đa thức $\displaystyle 27x^{2} -108x+117$ bằng cách tìm một giá trị $\displaystyle s$ sao cho $\displaystyle s$ là một nghiệm của đa thức này. Thử với $\displaystyle s=1$, ta có: $\displaystyle ( x-1)( 27x-27) =0$ Vậy, đa thức $\displaystyle 27x^{3} -135x^{2} +225x-125$ có thể được phân tích thành nhân tử như sau: $\displaystyle 27x^{3} -135x^{2} +225x-125 =( x-1)( x-1)( 27x-27)$ d) Để phân tích đa thức $\displaystyle 8x^{6} +343$ thành nhân tử, chúng ta nhận thấy rằng đa thức này có dạng của một khai triển binomial: $\displaystyle ( ax^{2} +by^{2})( cx^{4} +dy^{4}) =acx^{6} +( ad+bc) x^{2} y^{2} +bdy^{6}$ So sánh với đa thức đã cho, ta có: $\displaystyle ac=8$ $\displaystyle ad+bc=0$ $\displaystyle bd=343$ Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ và $\displaystyle d$. Ta có: $\displaystyle ac=8\Rightarrow a=\dfrac{8}{c}$ $\displaystyle bd=343\Rightarrow d=\dfrac{343}{b}$ Thay vào phương trình $\displaystyle ad+bc=0$, ta có: $\displaystyle \dfrac{8}{c} \cdot \dfrac{343}{b} +bc=0$ $\displaystyle \dfrac{2744}{bc} +bc=0$ $\displaystyle 2744+b^{2} c^{2} =0$ $\displaystyle b^{2} c^{2} =-2744$ Đây là một phương trình vô lý, vì không có giá trị thực nào của $\displaystyle b$ và $\displaystyle c$ khiến cho phương trình này đúng. Vì vậy, đa thức $\displaystyle 8x^{6} +343$ không thể được phân tích thành nhân tử.