Cho tam giác ABC vuông tại A .Tia phân giác của góc ABC cắt AC tai D. Từ D kẻ đường thẳng DH vuông goc với BC tai H và DH cắt AB tai K A, cmr .AD=DH B, so sánh độ dai AD và DC C, cm tam giác KBC là...

1. Đây là một bài toán về tam giác vuông và các tia phân giác góc. Chúng ta cần chứng minh và so sánh các độ dài của các đoạn thẳng trong tam giác ABC. a) Để chứng minh AD = DH, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác góc và tam giác vuông. b) Để so sánh độ dài AD và DC, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tia phân giác góc. c) Để chứng minh tam giác KBC là tam giác cân, ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng và góc vuông. 2. Giải quyết từng câu hỏi theo từng bước: a) Chứng minh AD = DH: - Gọi M là trung điểm của BC. - Vì AD là tia phân giác góc ABC, nên AM cắt BD ở trung điểm N của BD. - Ta có: $\angle BAN = \angle BAD$ (vì AN là tia phân giác góc BAC). - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\angle BAN = \angle BAM$. - Do đó, tam giác BAD cân tại B. - Vì BM là đường trung bình trong tam giác ABC, nên BM vuông góc với AC và cắt AC tại D. - Vì BM là đường trung bình trong tam giác ABC, nên DM = CM. - Vì BM vuông góc với AC, nên DM vuông góc với AC. - Vì DH vuông góc với BC, nên DM vuông góc với BC. - Vậy, ta có DM vuông góc với cả AC và BC, nên DM vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. - Do đó, D là hình chiếu vuông góc của H lên AB. - Vậy, ta có AD = DH. b) So sánh độ dài AD và DC: - Ta đã chứng minh được AD = DH. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\angle BAC = 90^\circ$. - Vì AD là tia phân giác góc ABC, nên $\angle BAD = \angle DAC$. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\angle BAC = \angle DAC$. - Do đó, tam giác ADC là tam giác cân tại D. - Vậy, ta có AD = DC. c) Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân: - Gọi M là trung điểm của BC (như đã đề cập ở câu a). - Vì BM là đường trung bình trong tam giác ABC, nên BM vuông góc với AC và cắt AC tại D. - Vì DH vuông góc với BC, nên DM vuông góc với BC. - Vì BM vuông góc với AC và DM vuông góc với BC, nên BM vuông góc với DM. - Vậy, ta có $\angle BMD = 90^\circ$. - Vì BM là đường trung bình trong tam giác ABC, nên BM = CM. - Vì DM = CM (vì đã chứng minh ở câu a), nên DM = BM. - Vậy, ta có $\angle BDM = \angle BMD$. - Do đó, tam giác BDM là tam giác cân tại B. - Vì K là điểm trên đường thẳng AB, nên $\angle BDK = \angle BDA$. - Vì tam giác BAD cân tại B (đã chứng minh ở câu a), nên $\angle BDA = \angle BAD$. - Do đó, tam giác BDK là tam giác cân tại B. - Vậy, ta có tam giác KBC là tam giác cân. Tóm lại, ta đã chứng minh được: a) AD = DH b) AD = DC c) Tam giác KBC là tam giác cân.