giải ngắn gọn gấp ạ

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số công thức và phương pháp tính tổng. b) Để tính tổng $2+4+6+...+98+1000$, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong dãy này là các số chẵn từ 2 đến 1000. Ta có thể viết lại dãy này thành $2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + ... + 2 \times 50$. Ta thấy rằng ta có thể rút gọn dãy này bằng cách lấy 2 ra khỏi ngoặc và tính tổng của các số từ 1 đến 50. Tổng của các số từ 1 đến 50 có thể tính bằng công thức tổng quát của dãy số tự nhiên: $S = \frac{n(n+1)}{2}$, với $n$ là số phần tử trong dãy (trong trường hợp này, $n=50$). Áp dụng công thức này vào bài toán của chúng ta, ta có: \[2+4+6+...+98+1000 = 2 \times \frac{50 \times 51}{2} = 2 \times 25 \times 51 = 2550.\] Vậy tổng của dãy số là 2550. c) Để tính tổng $2-4+6-8+...+98-100$, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong dãy này xen kẽ là số chẵn và số lẻ từ 2 đến 100. Ta có thể viết lại dãy này thành $2 \times 1 - 2 \times 2 + 2 \times 3 - ... - 2 \times 50$. Ta thấy rằng ta có thể rút gọn dãy này bằng cách lấy 2 ra khỏi ngoặc và tính tổng của các số từ 1 đến 50, sau đó nhân kết quả với -1. Tổng của các số từ 1 đến 50 có thể tính bằng công thức tổng quát của dãy số tự nhiên: $S = \frac{n(n+1)}{2}$, với $n$ là số phần tử trong dãy (trong trường hợp này, $n=50$). Áp dụng công thức này vào bài toán của chúng ta, ta có: \[2-4+6-8+...+98-100 = -2 \times \frac{50 \times 51}{2} = -2 \times 25 \times 51 = -2550.\] Vậy tổng của dãy số là -2550. b) Để chứng minh rằng $M=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$ chia hết cho 4, chúng ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ (hay còn gọi là định lý chia dư). Theo định lý Fermat nhỏ, nếu $a$ chia hết cho $b$, tức là $a \equiv 0 \pmod{b}$, thì $a^n \equiv 0 \pmod{b}$ với mọi số nguyên dương $n$. Trong trường hợp này, chúng ta muốn chứng minh rằng $M$ chia hết cho 4. Ta thấy rằng $M$ có thể viết lại thành $3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 = 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7)$. Ta thấy rằng $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7$ là một dãy số hình thành từ các số mũ của 3. Theo định lý Fermat nhỏ, mỗi số mũ của 3 trong dãy này đều chia hết cho 4. Vì vậy, tổng của chúng cũng chia hết cho 4. Do đó, $M = 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7)$ chia hết cho 4. c) Để chứng minh rằng $M=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$ chia hết cho 13, chúng ta cũng có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ. Ta thấy rằng $M$ có thể viết lại thành $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 = 1 + 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7)$. Ta thấy rằng $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7$ là một dãy số hình thành từ các số mũ của 3. Theo định lý Fermat nhỏ, mỗi số mũ của 3 trong dãy này đều chia hết cho 13. Vì vậy, tổng của chúng cũng chia hết cho 13. Do đó, $M = 1 + 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7)$ chia hết cho 13.