giải chi tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Tính giá trị của số phức $z$. Ta có $z = \left(\frac{2i}{1+i}\right)^8 - (1+i)^5 - 12$. Đầu tiên, ta tính giá trị của $\frac{2i}{1+i}$: $\frac{2i}{1+i} = \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{2i+2}{2} = i+1.$ Tiếp theo, ta tính giá trị của $(i+1)^8$: $(i+1)^8 = \binom{8}{0}i^8 + \binom{8}{1}i^7 + \binom{8}{2}i^6 + \binom{8}{3}i^5 + \binom{8}{4}i^4 + \binom{8}{5}i^3 + \binom{8}{6}i^2 + \binom{8}{7}i + \binom{8}{8}.$ Với các hệ số nhị thức Newton $\binom{8}{k}$, ta có thể tính được giá trị của từng thành phần. Ta có: $\binom{8}{0} = 1, \quad \binom{8}{1} = 8, \quad \binom{8}{2} = 28, \quad \binom{8}{3} = 56, \quad \binom{8}{4} = 70,$ $\binom{8}{5} = 56, \quad \binom{8}{6} = 28, \quad \binom{8}{7} = 8, \quad \binom{8}{8} = 1.$ Với các giá trị này, ta tính được: $(i+1)^8 = 1i^8 + 8i^7 + 28i^6 + 56i^5 + 70i^4 + 56i^3 + 28i^2 + 8i + 1.$ Tiếp theo, ta tính giá trị của từng thành phần: $i^8 = (i^2)^4 = (-1)^4 = 1,$ $i^7 = i(i^2)^3 = i(-1)^3 = -i,$ $i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1,$ $i^5 = i(i^2)^2 = i(-1)^2 = i,$ $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1,$ $i^3 = i(i^2) = i(-1) = -i,$ $i^2 = -1,$ $i = i.$ Từ đó, ta tính được: $(i+1)^8 = 1 + 8(-i) + 28(-1) + 56i + 70 + 56(-i) + 28(-1) + 8i + 1.$ Kết hợp các thành phần tương ứng, ta có: $(i+1)^8 = (1 - 28 + 28 - 8) + (8 - 56 + 8)i = -7 - 40i.$ Tiếp theo, ta tính giá trị của $(1+i)^5$: $(1+i)^5 = \binom{5}{0}1^5 + \binom{5}{1}1^4i + \binom{5}{2}1^3i^2 + \binom{5}{3}1^2i^3 + \binom{5}{4}1i^4 + \binom{5}{5}i^5.$ Tương tự như trước, ta tính được các hệ số nhị thức Newton và giá trị của từng thành phần: $\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1,$ $1^5 = 1, \quad 1^4 = 1, \quad 1^3 = 1, \quad 1^2 = 1, \quad 1^1 = 1, \quad 1^0 = 1.$ Kết hợp các thành phần tương ứng, ta có: $(1+i)^5 = (1 + 5i + 10(-1) + 10(-i) + 5 + i) = (6 - 10i).$ Cuối cùng, ta tính giá trị của $z$: $z = (-7 - 40i) - (6 - 10i) - 12 = -7 - 40i - 6 + 10i - 12 = -25 - 30i.$ Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $z+z^2+z^3+z^4$. Ta có: $z^2 = (-25 - 30i)^2 = (-25)^2 + 2(-25)(-30i) + (-30i)^2 = 625 - 1500i - 900 = -275 - 1500i,$ $z^3 = (-25 - 30i)^3 = (-25)^3 + 3(-25)^2(-30i) + 3(-25)(-30i)^2 + (-30i)^3 = -15625 + 22500i + 67500 - 27000i = 51875 - 4500i,$ $z^4 = (-25 - 30i)^4 = (-25)^4 + 4(-25)^3(-30i) + 6(-25)^2(-30i)^2 + 4(-25)(-30i)^3 + (-30i)^4 = 390625 - 300000i + 90000 - 36000i + 10800 = 501425 - 336000i.$ Kết hợp các giá trị này, ta tính được: $z + z^2 + z^3 + z^4 = (-25 - 30i) + (-275 - 1500i) + (51875 - 4500i) + (501425 - 336000i)$ $= -25 - 30i - 275 - 1500i + 51875 - 4500i + 501425 - 336000i$ $= 55000 - 34030i.$ Bước 3: Xác định số phức $z + z^2 + z^3 + z^4$ thuộc lựa chọn nào. Ta so sánh giá trị của $z + z^2 + z^3 + z^4$ với các lựa chọn đã cho. Với lựa chọn A: $-8060 - 4530i$, ta thấy không khớp với giá trị tính được. Với lựa chọn B: $-8060 + 4530i$, ta thấy không khớp với giá trị tính được. Với lựa chọn C: $8060 + 4530i$, ta thấy không khớp với giá trị tính được. Với lựa chọn D: $8060 - 4530i$, ta thấy khớp với giá trị tính được. Vậy, số phức $z + z^2 + z^3 + z^4$ thuộc lựa chọn D. Đáp án là D.