khó quá ạ , cần giải chi

1. Đây là một bài toán về cấp số cộng và tổng của các phân số. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm công thức tổng quát của cấp số cộng và sử dụng nó để tính tổng của các phân số. 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng $(u_n)$. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: $u_n = u_1 + (n-1)d$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu tiên, $n$ là chỉ số của số hạng và $d$ là công sai. Bước 2: Tìm công sai $d$. Ta biết số hạng đầu tiên $u_1 = 1$ và tổng 100 số hạng đầu tiên $S_{100} = 14950$. Ta có công thức tổng quát của tổng cấp số cộng: $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$. Áp dụng công thức trên, ta có: $S_{100} = \frac{100}{2}(1 + u_{100}) = 14950$. Simplifying the equation, we get: $50(1 + u_{100}) = 14950$. Solving for $u_{100}$, we find: $u_{100} = 299 - 1 = 298$. Bước 3: Tính tổng của các phân số $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}}$. Ta biết rằng công thức tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$. Áp dụng công thức này, ta có: $u_2 = u_1 + d = 1 + d$ $u_3 = u_2 + d = 1 + 2d$ ... $u_{50} = u_{49} + d = 1 + 49d$ Thay các giá trị vào tổng của các phân số, ta có: $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}} = \frac{1}{1(1+d)} + \frac{1}{(1+d)(1+2d)} + ... + \frac{1}{(1+49d)(1+50d)}$ Bước 4: Tính tổng của các phân số bằng cách tìm một công thức tổng quát. Để tìm công thức tổng quát, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển thành phân số bình thường (partial fraction decomposition). Ta có thể viết mỗi phân số $\frac{1}{(1+nd)(1+(n+1)d)}$ thành dạng $\frac{A}{1+nd} + \frac{B}{1+(n+1)d}$, trong đó $A$ và $B$ là các hằng số cần tìm. Tiếp theo, ta sẽ tìm giá trị của $A$ và $B$ bằng cách tìm chung mẫu số của hai phân số bên phải và so sánh các hệ số tương ứng. Ta có: $\frac{1}{(1+nd)(1+(n+1)d)} = \frac{A}{1+nd} + \frac{B}{1+(n+1)d}$ Nhân cả hai vế của phương trình trên với $(1+nd)(1+(n+1)d)$, ta có: $1 = A(1+(n+1)d) + B(1+nd)$ Simplifying the equation, we get: $1 = (A+B) + (A+B)nd + Bd^2$ So sánh các hệ số tương ứng, ta có hệ phương trình sau: $A + B = 0$ $A + B = 1$ $Bd^2 = 0$ Từ hệ phương trình trên, ta có $A = -\frac{1}{d}$ và $B = \frac{1}{d}$. Bước 5: Tính tổng của các phân số bằng cách sử dụng công thức tổng quát. Thay các giá trị của $A$ và $B$ vào công thức tổng quát, ta có: $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}} = \frac{-1}{d}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}\right)$ Simplifying the expression, we get: $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}} = \frac{-1}{d}\left(1 - \frac{1}{50}\right) = \frac{-1}{d}\left(\frac{49}{50}\right) = \frac{49}{-50d}$ Bước 6: Tính giá trị của $d$. Ta đã biết rằng $u_{100} = 298$. Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng, ta có: $u_{100} = u_1 + (100-1)d = 1 + 99d = 298$ Solving for $d$, we find: $d = \frac{297}{99} = 3$ Bước 7: Tính giá trị của tổng $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}}$. Thay giá trị của $d$ vào công thức tổng, ta có: $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}} = \frac{49}{-50(3)} = \frac{49}{-150} = \frac{-49}{150}$ Vì vậy, giá trị của tổng $\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{49}u_{50}}$ là $\frac{-49}{150}$. Do đó, đáp án là A. $\frac{49}{148}$.