$\text{Giải pt vi phân cấp 2}$ $y'' -6y' +9y= cos3x$

1. Đây là một bài toán vi phân cấp 2, trong đó chúng ta cần tìm hàm số $y(x)$ thỏa mãn phương trình vi phân cấp 2 đã cho. Bước giải quyết bài toán này bao gồm các bước sau: a) Tìm hàm số tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng. b) Tìm một giải pháp cụ thể của phương trình vi phân không đồng nhất. c) Kết hợp hai kết quả trên để tìm hàm số tổng quát của phương trình vi phân ban đầu. 2. Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình vi phân cấp 2 theo từng bước: a) Phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là: $y'' -6y' +9y = 0$. Để giải phương trình này, ta giả sử $y(x) = e^{rx}$, với $r$ là một số thực bất kỳ. Thay vào phương trình, ta có: $r^2e^{rx} - 6re^{rx} + 9e^{rx} = 0$ Rút gọn và chia mọi thành viên cho $e^{rx}$, ta được: $r^2 - 6r + 9 = 0$ Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Áp dụng vào phương trình trên, ta có: $r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$ $r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$ $r = \frac{6}{2} = 3$ Vậy, ta có hai nghiệm cho phương trình thuần nhất: $r_1 = r_2 = 3$. Do đó, hàm số tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất là: $y_h(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$, với $C_1$ và $C_2$ là các hằng số tùy ý. b) Giải phương trình vi phân không đồng nhất: $y'' -6y' +9y = \cos(3x)$. Để tìm một giải pháp cụ thể cho phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phương pháp biến đổi Laplace hoặc phương pháp phân rã thành chuỗi Maclaurin. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta sẽ giả sử một giải pháp dạng $y_p(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x)$, với $A$ và $B$ là các hằng số cần tìm. Thay giá trị của $y_p(x)$ vào phương trình, ta có: $(-9A\cos(3x) - 9B\sin(3x)) - 6(-3A\sin(3x) + 3B\cos(3x)) + 9(A\cos(3x) + B\sin(3x)) = \cos(3x)$ Rút gọn và nhóm các hạng tử tương ứng, ta được: $(-9A + 18B + 9A)\cos(3x) + (-9B - 18A + 9B)\sin(3x) = \cos(3x)$ So sánh các hạng tử tương ứng, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} -9A + 18B + 9A = 1 \\ -9B - 18A + 9B = 0 \end{cases}$ Từ đó, ta có: $\begin{cases} 18B = 1 \\ -18A = 0 \end{cases}$ Từ đó, ta tìm được giá trị của $A$ và $B$: $\begin{cases} B = \frac{1}{18} \\ A = 0 \end{cases}$ Vậy, giải pháp cụ thể cho phương trình vi phân không đồng nhất là: $y_p(x) = \frac{1}{18}\sin(3x)$. c) Kết hợp hai kết quả trên, ta có hàm số tổng quát của phương trình vi phân ban đầu: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x} + \frac{1}{18}\sin(3x)$, với $C_1$ và $C_2$ là các hằng số tùy ý.