Cho hình bình hành ABCD, lấy F trên cạnh BC. Tia DF cắt tia AB tại G. Chứng minh AG.CF luôn không đối khi F di động trên BC

1. Đây là một bài toán hình học trong đó chúng ta cần chứng minh một tích không đổi khi một điểm di chuyển trên một đoạn thẳng. Ý tưởng chính và các bước logic để giải quyết bài toán này như sau: - Sử dụng định lí Menelaus để chứng minh tích AG.CF không đổi khi F di chuyển trên đoạn thẳng BC. - Để chứng minh điều này, chúng ta cần chứng minh rằng tỉ lệ $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} = 1$ không thay đổi khi F di chuyển trên đoạn thẳng BC. 2. Giải quyết bài toán theo từng bước: Bước 1: Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng DF: Theo định lí Menelaus, ta có: $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$ Bước 2: Chứng minh rằng $\frac{CD}{DA} = 1$: Vì hình bình hành ABCD nên $CD = AB$ và $DA = BC$. Do đó, $\frac{CD}{DA} = \frac{AB}{BC} = 1$. Bước 3: Thay giá trị $\frac{CD}{DA} = 1$ vào công thức định lí Menelaus: $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot 1 = 1$ Bước 4: Rút gọn biểu thức: $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} = 1$ Bước 5: Kết luận: Từ bước 4, ta có $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} = 1$, tức là tích AG.CF không đổi khi F di chuyển trên đoạn thẳng BC.