Cho $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $,..., $ x_n $ nhân các giá trị 1 hoặc -1. Biết $ x_1 $ + $ x_2 $ + $ x_3 $ + $ x_4 $ +...+ $ x_n $ x $ x_1 $ = 0 Chứng minh rằng: n ⋮ 4

Loại bài toán này là bài toán chứng minh trong lĩnh vực Đại số. Đầu tiên, ta cần hiểu rằng $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $,..., $ x_n $ chỉ có thể nhận giá trị 1 hoặc -1. Do đó, $ x_1^2 $ = $ x_2^2 $ = $ x_3^2 $ =...= $ x_n^2 $ = 1. Bây giờ, hãy xem xét biểu thức đã cho: $ x_1 $ + $ x_2 $ + $ x_3 $ + $ x_4 $ +...+ $ x_n $ x $ x_1 $ = 0 Chúng ta có thể viết lại biểu thức này như sau: $ x_1 $ (1 + $ x_n $) + $ x_2 $ + $ x_3 $ + $ x_4 $ +...+ $ x_{n-1} $ = 0 Do $ x_1 $ và $ x_n $ chỉ có thể nhận giá trị 1 hoặc -1, nên (1 + $ x_n $) có thể là 0 (khi $ x_n $ = -1) hoặc 2 (khi $ x_n $ = 1). Nhưng vì tổng của tất cả các số $ x_i $ phải bằng 0, nên (1 + $ x_n $) không thể là 2. Vì vậy, (1 + $ x_n $) phải bằng 0, tức là $ x_n $ = -1. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau: $ x_1 $ x (-1) + $ x_2 $ + $ x_3 $ + $ x_4 $ +...+ $ x_{n-1} $ = 0 Điều này có nghĩa là tổng của (n-1) số còn lại phải bằng 1. Nhưng mỗi số chỉ có thể nhận giá trị 1 hoặc -1, nên số lượng các số bằng 1 phải nhiều hơn số lượng các số bằng -1 đúng 1 đơn vị. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu (n-1) chia hết cho 2. Cuối cùng, vì $ x_n $ = -1, nên n phải chia hết cho 4 để đảm bảo rằng tổng của tất cả các số $ x_i $ bằng 0. Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng n chia hết cho 4.