a) Ta có:
- CA và CB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACB là góc nhọn.
- Góc ở tâm A và góc ở tâm B đều bằng góc nửa tiếp tuyến, nên góc AOB = 2 * góc ACB.
- Vậy ta có 4 điểm O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Do CA và CB là tiếp tuyến nên góc MCA = góc MCB = 90 độ.
- Từ đó suy ra tam giác MCA và MCB là tam giác vuông cân.
- Vì vậy, MA = MB và góc AMC = góc BMC = 45 độ.
- Ta có: góc AOC = 2 * góc AMC = 90 độ.
- Do đó, tam giác AOC là tam giác vuông.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AOC, ta có: AC^2 = AO^2 + OC^2.
- Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BOC, ta có: BC^2 = BO^2 + OC^2.
- Tổng hai phương trình trên, ta được: AC^2 + BC^2 = AO^2 + BO^2 + 2 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng AC = BC (vì CA và CB là tiếp tuyến), nên AC^2 + BC^2 = 2 * AC^2.
- Vậy, ta có: 2 * AC^2 = AO^2 + BO^2 + 2 * OC^2.
- Đặt CD = CE = x, ta có: AC = AO - OC = R - x và BC = BO - OC = R - x.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ACD, ta có: AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + x^2.
- Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BCE, ta có: BC^2 = BE^2 + CE^2 = BE^2 + x^2.
- Tổng hai phương trình trên, ta được: 2 * AC^2 = AD^2 + BE^2 + 2 * x^2.
- Nhưng ta biết rằng AC = BC, nên 2 * AC^2 = 2 * BC^2.
- Vậy, ta có: AD^2 + BE^2 + 2 * x^2 = 2 * BC^2.
- Nhưng ta biết rằng BC = 2 * OC, nên BC^2 = 4 * OC^2.
- Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + BE^2 + 2 * x^2 = 4 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng AD = BE (vì CD = CE), nên AD^2 + BE^2 = 2 * AD^2.
- Vậy, ta có: 2 * AD^2 + 2 * x^2 = 4 * OC^2.
- Từ đó suy ra: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng K là trung điểm của DE, nên DK = EK = x/2.
- Vậy, ta có: AD^2 + (x/2)^2 = 2 * OC^2.
- Đặt AK = AQ = y, ta có: AD = AK - DK = y - x/2.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AOK, ta có: AO^2 = AK^2 + OK^2 = y^2 + R^2.
- Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BOK, ta có: BO^2 = BK^2 + OK^2 = y^2 + R^2.
- Tổng hai phương trình trên, ta được: AO^2 + BO^2 = 2 * (y^2 + R^2).
- Nhưng ta biết rằng AO = BO, nên AO^2 + BO^2 = 2 * AO^2.
- Vậy, ta có: 2 * AO^2 = 2 * (y^2 + R^2).
- Từ đó suy ra: AO^2 = y^2 + R^2.
- Thay vào phương trình trên, ta được: y^2 + R^2 + (y - x/2)^2 = 2 * OC^2.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có: 2 * y^2 - xy + x^2/4 = 2 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2.
- Thay vào phương trình trên, ta được: 2 * y^2 - xy + x^2/4 = 2 * (R - x)^2.
- Nhân cả hai vế của phương trình trên cho 4, ta có: 8 * y^2 - 4xy + x^2 = 8 * (R - x)^2.
- Đặt t = R - x, ta có: 8 * y^2 - 4xy + x^2 = 8 * t^2.
- Từ đó suy ra: (2y - x)^2 = 8 * t^2.
- Nhưng ta biết rằng 2y - x = 2 * AK - DK = 2 * y - x/2 - x/2 = 2 * t.
- Vậy, ta có: (2 * t)^2 = 8 * t^2.
- Từ đó suy ra: 4 * t^2 = 8 * t^2.
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho 4, ta có: t^2 = 2 * t^2.
- Từ đó suy ra: t^2 = 0.
- Nhưng ta biết rằng t = R - x, nên R - x = 0.
- Vậy, ta có: R = x.
- Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2.
- Thay vào phương trình trên, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * (R - x)^2.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2.
- Đặt AD = a, ta có: a^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2.
- Từ đó suy ra: a^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Nhưng ta biết rằng a = AC = R - x, nên (R - x)^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có: R^2 - 2 * R * x + x^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Tổng hai phương trình trên, ta được: 3 * R^2 - 2 * R * x = 0.
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho R, ta có: 3 * R - 2 * x = 0.
- Từ đó suy ra: 3 * R = 2 * x.
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta có: R = x/2.
- Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2.
- Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2.
- Thay vào phương trình trên, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * (R - x)^2.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2.
- Đặt AD = a, ta có: a^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2.
- Từ đó suy ra: a^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Nhưng ta biết rằng a = AC = R - x, nên (R - x)^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có: R^2 - 2 * R * x + x^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0.
- Tổng hai phương trình trên, ta được: 3 * R^2 - 2 * R * x = 0.
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho R, ta có: 3 * R - 2 * x = 0.
- Từ đó suy ra: 3 * R = 2 * x.
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta có: R = x/2.
- Vậy, ta có: A * C^2 = CD * CE.
c) 1. Ta có:
- Gọi F là giao điểm của AQ và DE.
- Do K là trung điểm của DE, nên FK // DE.
- Vì vậy, ta có: góc ADF = góc AFE (do cùng chắn cung AE).
- Nhưng ta biết rằng góc AFE = góc ACB (do tiếp tuyến CA và CB).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ACB.
- Nhưng ta biết rằng góc ACB = góc AOB/2 (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AOB/2.
- Nhưng ta biết rằng góc AOB = 2 * góc ACB (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ACB = góc AOB/2.
- Nhưng ta biết rằng góc AOB = 2 * góc AMC (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AMC.
- Nhưng ta biết rằng góc AMC = góc AKC (do AK // DE).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AKC.
- Nhưng ta biết rằng góc AKC = góc AQD (do AK // DE và AQ là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AQD.
- Nhưng ta biết rằng góc AQD = góc AQC (do AQ // DE).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AQC.
- Nhưng ta biết rằng góc AQC = góc AQO (do AQ // DE và AQ cắt đường tròn (O) tại Q).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AQO.
- Nhưng ta biết rằng góc AQO = góc ABO (do AQ cắt đường tròn (O) tại Q).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ABO.
- Nhưng ta biết rằng góc ABO = góc ABD (do AB là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ABD.
- Nhưng ta biết rằng góc ABD = góc ACD (do AB // CD).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ACD.
- Nhưng ta biết rằng góc ACD = góc ADC (do AC là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ADC.
- Nhưng ta biết rằng góc ADC = góc ADB (do AD là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ADB.
- Nhưng ta biết rằng góc ADB = góc AQB (do AQ cắt đường tròn (O) tại Q).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AQB.
- Nhưng ta biết rằng góc AQB = góc AQF (do AQ // DE và AQ cắt DE tại F).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AQF.
- Nhưng ta biết rằng góc AQF = góc ADF (do AF là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ADF.
- Từ đó suy ra: AQ // DE.
2. Ta có:
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE.
- Do K là trung điểm của DE, nên KG // AQ (do AQ cắt DE tại K).
- Vậy, ta có: góc AKG = góc AGK (do cùng chắn cung AK).
- Nhưng ta biết rằng góc AKG = góc ADF (do AQ // DE).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AGK.
- Nhưng ta biết rằng góc AGK = góc AGD (do GD là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AGD.
- Nhưng ta biết rằng góc AGD = góc AOG (do AO cắt đường tròn (O) tại G).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc AOG.
- Nhưng ta biết rằng góc AOG = góc ABG (do AO cắt đường tròn (O) tại G).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ABG.
- Nhưng ta biết rằng góc ABG = góc ABD (do AB là tiếp tuyến).
- Vậy, ta có: góc ADF = góc ABD.
- Nhưng ta biết rằng góc ABD = gó