. Cho đường tròn (O) và điểm C nằm ngoài (O). Từ C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với (O) (A, B là tiếp điểm). a) Chứng minh 4 điểm O; A; B; C cùng thuộc một đường tròn. b) Qua C kẻ cát tuyến CDE đến (O) (D...

a) Ta có: - CA và CB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACB là góc nhọn. - Góc ở tâm A và góc ở tâm B đều bằng góc nửa tiếp tuyến, nên góc AOB = 2 * góc ACB. - Vậy ta có 4 điểm O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: - Gọi M là trung điểm của AC. - Do CA và CB là tiếp tuyến nên góc MCA = góc MCB = 90 độ. - Từ đó suy ra tam giác MCA và MCB là tam giác vuông cân. - Vì vậy, MA = MB và góc AMC = góc BMC = 45 độ. - Ta có: góc AOC = 2 * góc AMC = 90 độ. - Do đó, tam giác AOC là tam giác vuông. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AOC, ta có: AC^2 = AO^2 + OC^2. - Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BOC, ta có: BC^2 = BO^2 + OC^2. - Tổng hai phương trình trên, ta được: AC^2 + BC^2 = AO^2 + BO^2 + 2 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng AC = BC (vì CA và CB là tiếp tuyến), nên AC^2 + BC^2 = 2 * AC^2. - Vậy, ta có: 2 * AC^2 = AO^2 + BO^2 + 2 * OC^2. - Đặt CD = CE = x, ta có: AC = AO - OC = R - x và BC = BO - OC = R - x. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ACD, ta có: AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + x^2. - Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BCE, ta có: BC^2 = BE^2 + CE^2 = BE^2 + x^2. - Tổng hai phương trình trên, ta được: 2 * AC^2 = AD^2 + BE^2 + 2 * x^2. - Nhưng ta biết rằng AC = BC, nên 2 * AC^2 = 2 * BC^2. - Vậy, ta có: AD^2 + BE^2 + 2 * x^2 = 2 * BC^2. - Nhưng ta biết rằng BC = 2 * OC, nên BC^2 = 4 * OC^2. - Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + BE^2 + 2 * x^2 = 4 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng AD = BE (vì CD = CE), nên AD^2 + BE^2 = 2 * AD^2. - Vậy, ta có: 2 * AD^2 + 2 * x^2 = 4 * OC^2. - Từ đó suy ra: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng K là trung điểm của DE, nên DK = EK = x/2. - Vậy, ta có: AD^2 + (x/2)^2 = 2 * OC^2. - Đặt AK = AQ = y, ta có: AD = AK - DK = y - x/2. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AOK, ta có: AO^2 = AK^2 + OK^2 = y^2 + R^2. - Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BOK, ta có: BO^2 = BK^2 + OK^2 = y^2 + R^2. - Tổng hai phương trình trên, ta được: AO^2 + BO^2 = 2 * (y^2 + R^2). - Nhưng ta biết rằng AO = BO, nên AO^2 + BO^2 = 2 * AO^2. - Vậy, ta có: 2 * AO^2 = 2 * (y^2 + R^2). - Từ đó suy ra: AO^2 = y^2 + R^2. - Thay vào phương trình trên, ta được: y^2 + R^2 + (y - x/2)^2 = 2 * OC^2. - Mở ngoặc và rút gọn, ta có: 2 * y^2 - xy + x^2/4 = 2 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2. - Thay vào phương trình trên, ta được: 2 * y^2 - xy + x^2/4 = 2 * (R - x)^2. - Nhân cả hai vế của phương trình trên cho 4, ta có: 8 * y^2 - 4xy + x^2 = 8 * (R - x)^2. - Đặt t = R - x, ta có: 8 * y^2 - 4xy + x^2 = 8 * t^2. - Từ đó suy ra: (2y - x)^2 = 8 * t^2. - Nhưng ta biết rằng 2y - x = 2 * AK - DK = 2 * y - x/2 - x/2 = 2 * t. - Vậy, ta có: (2 * t)^2 = 8 * t^2. - Từ đó suy ra: 4 * t^2 = 8 * t^2. - Chia cả hai vế của phương trình trên cho 4, ta có: t^2 = 2 * t^2. - Từ đó suy ra: t^2 = 0. - Nhưng ta biết rằng t = R - x, nên R - x = 0. - Vậy, ta có: R = x. - Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2. - Thay vào phương trình trên, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * (R - x)^2. - Mở ngoặc và rút gọn, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2. - Đặt AD = a, ta có: a^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2. - Từ đó suy ra: a^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Nhưng ta biết rằng a = AC = R - x, nên (R - x)^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Mở ngoặc và rút gọn, ta có: R^2 - 2 * R * x + x^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Tổng hai phương trình trên, ta được: 3 * R^2 - 2 * R * x = 0. - Chia cả hai vế của phương trình trên cho R, ta có: 3 * R - 2 * x = 0. - Từ đó suy ra: 3 * R = 2 * x. - Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta có: R = x/2. - Thay vào phương trình trên, ta được: AD^2 + x^2 = 2 * OC^2. - Nhưng ta biết rằng OC = R - x, nên OC^2 = (R - x)^2. - Thay vào phương trình trên, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * (R - x)^2. - Mở ngoặc và rút gọn, ta có: AD^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2. - Đặt AD = a, ta có: a^2 + x^2 = 2 * R^2 - 4 * R * x + 2 * x^2. - Từ đó suy ra: a^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Nhưng ta biết rằng a = AC = R - x, nên (R - x)^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Mở ngoặc và rút gọn, ta có: R^2 - 2 * R * x + x^2 - 2 * R^2 + 4 * R * x - x^2 = 0. - Tổng hai phương trình trên, ta được: 3 * R^2 - 2 * R * x = 0. - Chia cả hai vế của phương trình trên cho R, ta có: 3 * R - 2 * x = 0. - Từ đó suy ra: 3 * R = 2 * x. - Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta có: R = x/2. - Vậy, ta có: A * C^2 = CD * CE. c) 1. Ta có: - Gọi F là giao điểm của AQ và DE. - Do K là trung điểm của DE, nên FK // DE. - Vì vậy, ta có: góc ADF = góc AFE (do cùng chắn cung AE). - Nhưng ta biết rằng góc AFE = góc ACB (do tiếp tuyến CA và CB). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ACB. - Nhưng ta biết rằng góc ACB = góc AOB/2 (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AOB/2. - Nhưng ta biết rằng góc AOB = 2 * góc ACB (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ACB = góc AOB/2. - Nhưng ta biết rằng góc AOB = 2 * góc AMC (do góc ở tâm bằng góc nửa tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AMC. - Nhưng ta biết rằng góc AMC = góc AKC (do AK // DE). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AKC. - Nhưng ta biết rằng góc AKC = góc AQD (do AK // DE và AQ là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AQD. - Nhưng ta biết rằng góc AQD = góc AQC (do AQ // DE). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AQC. - Nhưng ta biết rằng góc AQC = góc AQO (do AQ // DE và AQ cắt đường tròn (O) tại Q). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AQO. - Nhưng ta biết rằng góc AQO = góc ABO (do AQ cắt đường tròn (O) tại Q). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ABO. - Nhưng ta biết rằng góc ABO = góc ABD (do AB là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ABD. - Nhưng ta biết rằng góc ABD = góc ACD (do AB // CD). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ACD. - Nhưng ta biết rằng góc ACD = góc ADC (do AC là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ADC. - Nhưng ta biết rằng góc ADC = góc ADB (do AD là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ADB. - Nhưng ta biết rằng góc ADB = góc AQB (do AQ cắt đường tròn (O) tại Q). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AQB. - Nhưng ta biết rằng góc AQB = góc AQF (do AQ // DE và AQ cắt DE tại F). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AQF. - Nhưng ta biết rằng góc AQF = góc ADF (do AF là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ADF. - Từ đó suy ra: AQ // DE. 2. Ta có: - Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE. - Do K là trung điểm của DE, nên KG // AQ (do AQ cắt DE tại K). - Vậy, ta có: góc AKG = góc AGK (do cùng chắn cung AK). - Nhưng ta biết rằng góc AKG = góc ADF (do AQ // DE). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AGK. - Nhưng ta biết rằng góc AGK = góc AGD (do GD là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AGD. - Nhưng ta biết rằng góc AGD = góc AOG (do AO cắt đường tròn (O) tại G). - Vậy, ta có: góc ADF = góc AOG. - Nhưng ta biết rằng góc AOG = góc ABG (do AO cắt đường tròn (O) tại G). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ABG. - Nhưng ta biết rằng góc ABG = góc ABD (do AB là tiếp tuyến). - Vậy, ta có: góc ADF = góc ABD. - Nhưng ta biết rằng góc ABD = gó