cho a,b,c >0 thoả mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất M = $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

cho a,b,c >0 thoả mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Đây là một bài toán tối ưu hóa trong phạm vi Toán học cao cấp, sử dụng các nguyên tắc của Bất đẳng thức. Chúng ta có thể giải quyết nó như sau: Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b + c$ với điều kiện $ab + bc + ca = 1$ và $a, b, c > 0$. Theo Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình số học - Trung bình số hình học), ta có: $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ Do đó: $abc \leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$ Từ điều kiện ban đầu, ta có: $ab+bc+ca=1=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$ Suy ra: $(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)=0$ Vậy: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ Như vậy, $a=b=c$. Khi đó, từ điều kiện ban đầu $ab+bc+ca=1$, ta suy ra được $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=a+b+c$ là $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. M = $ rac{a}{a+b}+ rac{b}{b+c}+ rac{c}{c+a}$ Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt a+b+c = k để rút gọn biểu thức. Bước 1: Đặt a+b+c = k Bước 2: Thay thế vào biểu thức ban đầu: M = $ rac{a}{k}+ rac{b}{b+(k-a)}+ rac{c}{(k-a)+(k-b)}$ Bước 3: Rút gọn biểu thức: M = $ rac{a}{k}+ rac{b}{k}+ rac{c}{2k-a-b}$ Bước 4: Tìm giá trị của M khi a=b=c=1: M = $ rac{1}{3}+ rac{1}{3}+ rac{1}{3}$ = 1 Bước 5: Tìm giá trị của M khi a=b=c=k/3: M = $ rac{k/3}{k}+ rac{k/3}{k}+ rac{k/3}{2k-k/3-k/3}$ = $\frac{\frac{k}{3}}{k}+\frac{\frac{k}{3}}{k}+\frac{\frac{k}{3}}{\frac{4k-2k/3-2k/3}{6}}$ = $\frac{\frac{k^2+k^2+k^2/9(6)}}{(6)(\frac{k^2-k^2/9-k^2/9-4(k^2-k^2/9-k^2/9)/6})}$ = $\frac{\frac{6k^2}{9}}{\frac{6(k^2-k^2/9-k^2/9)}{6}}$ = $\frac{\frac{6k^2}{9}}{\frac{6(3k^2-2k^2/3)}{6}}$ = $\frac{k^2}{3k^2-4k^2/3}$ = $\frac{k^2}{5k^2/3}$ = $\frac{3k}{5}$ Bước 6: Tìm giá trị của k khi M = 1.5107142857142857: 1.5107142857142857 = $ rac{3k}{5}$ Từ đó, ta có phương trình: 1.5107142857142857 * 5 = 3k 7.553571428571429 = 3k Kết quả là k ≈ 7.553571428571429 / 3 ≈ 2.517857142857143. Vậy, để biểu thức M đạt giá trị là 1.5107142857142857, ta cần đặt a+b+c ≈ 2.517857142857143.