Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
25/01/2024
25/01/2024
Câu 42:
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
V_{ABCD} =\frac{1}{6} .AB.CD.d( AB,CD) .\sin( AB,CD)\\
\Longrightarrow V_{max} =\frac{1}{6} .AB.CD.d( AB,CD)
\end{array}$
Khi đó AB$\displaystyle \bot $CD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Đặt AM=x, CN=y $\displaystyle \left( x\in \left( 0;\sqrt{10}\right] ;\ y\in ( 0;2]\right)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow ON=\sqrt{10-x^{2}} ;\ OM=\sqrt{4-y^{2}}\\
d( AB,CD) =MN=OM+ON=\sqrt{10-x^{2}} +\sqrt{4-y^{2}}
\end{array}$
Khi đó $\displaystyle V_{ABCD} =\frac{1}{6} AB.CD.d( AB,CD) =\frac{1}{6} .2x.2y.\left(\sqrt{10-x^{2}} +\sqrt{4-y^{2}}\right) =\frac{2}{3} xy.\left(\sqrt{10-x^{2}} +\sqrt{4-y^{2}}\right)$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
V_{ABCD} =\frac{2}{3} .xy.\left(\sqrt{2} .\sqrt{\frac{10-x^{2}}{2}} +\sqrt{1} .\sqrt{4-y^{2}}\right) \leqslant \frac{2}{3} xy.\sqrt{( 2+1) .\left(\frac{10-x^{2}}{2} +4-y^{2}\right)}\\
V_{ABCD} \leqslant \frac{2}{3} .xy.\sqrt{\frac{3}{2} .\left( 18-\left( x^{2} +2y^{2}\right)\right)} \leqslant \frac{2}{3} xy.\sqrt{\frac{3}{2} .\left( 18-2\sqrt{2} xy\right)} =\frac{2}{3} xy.\sqrt{3.\left( 9-\sqrt{2} xy\right)}
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow V_{ABCD}^{2} \leqslant \frac{4}{9}( xy)^{2} .\left( 3.\left( 9-\sqrt{2} xy\right)\right) =\frac{8}{3} .\frac{xy}{\sqrt{2}} .\frac{xy}{\sqrt{2}} .\left( 9-\sqrt{2} xy\right) \leqslant \frac{8}{3} .\left(\frac{\frac{xy}{\sqrt{2}} +\frac{xy}{\sqrt{2}} +9-\sqrt{2} xy}{3}\right)^{3}\\
\Longrightarrow V_{ABCD}^{2} \leqslant \frac{8}{3} .\left(\frac{9}{3}\right)^{3} =72\Longrightarrow V_{ABCD} \leqslant 6\sqrt{2}
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\displaystyle \begin{cases}
\frac{\sqrt{\frac{10-x^{2}}{2}}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{4-y^{2}}}{1} & \\
\frac{xy}{\sqrt{2}} =9-\sqrt{2} xy &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
x=\sqrt{6} & \\
y=\sqrt{3} &
\end{cases}$
⟹A
hang
25/01/2024
25/01/2024
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
5 giờ trước
6 giờ trước
7 giờ trước
8 giờ trước
9 giờ trước
Top thành viên trả lời