cứu tui với Câu 561. [id5254](TS10 chuyên Hà Tĩnh 2018-2019) Cho phương trình $x^2+2mx-1-$,$2m=0.$ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$ với mọi m. Tìm m để $P=$,$\frac{2x_1x_2+1}{x^2_1-2mx_2+1-2m}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Question

Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} \ +\ 2mx\ -\ 1\ -\ 2m\ =\ 0\
\vartriangle '\ =\ m^{2} \ -\ ( -1\ -\ 2m)\
=\ m^{2} \ +\ 2m\ +\ 1\
=\ ( m\ +\ 1)^{2} \ \geqslant \ 0\ \forall \ m
\end{array}$
⟹ Phương trình luôn có 2 nghiệm $\displaystyle x_{1} ,\ x_{2}$ (nghiệm kép hoặc 2 nghiệm phân biệt)
Theo Viet, ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
x_{1} \ +\ x_{2} \ =\ \frac{-b}{a} \ =\ -2m & \
x_{1} .x_{2} \ =\ \frac{c}{a} \ =\ -1\ -\ 2m &
\end{cases}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
P\ =\ \frac{2x_{1} x_{2} \ +\ 1}{x_{1}^{2} \ -\ 2mx_{2} \ +\ 1\ -\ 2m}\
=\ \frac{2x_{1} x_{2} \ +\ 1}{x_{1}^{2} \ -\ ( x_{1} \ +\ x_{2}) x_{2} \ +\ 1\ -\ 2m}\
=\ \frac{2x_{1} x_{2} \ +\ 1}{\ ( x_{1} \ +\ x_{2})^{2} \ -\ x_{1} x_{2} \ +\ 1\ -\ 2m}\
=\ \frac{-4m\ -\ 1}{4m^{2} \ +\ 2} \ \
P\ +\ 1\ =\ \frac{-4m\ -\ 1}{4m^{2} \ +\ 2} \ \ +\ 1\ =\ \frac{4m^{2} \ -\ 4m\ +\ 1}{4m^{2} \ +\ 2} \ =\ \frac{( 2m\ -\ 1)^{2}}{4m^{2} \ +\ 2} \ \geqslant \ 0\
\Longrightarrow \ P\ \geqslant \ -1\
\end{array}$
Vậy $\displaystyle min\ P\ =\ -1\ $khi $\displaystyle x\ =\ \frac{1}{2}$