Cho ΔABC, phân giác AD, đtron (O) tiếp xúc vs BC tại D và đi qua A. Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC và đtron (O), BE cắt đtron (O) tại K, AK cắt BC tại F. Chứng minh: a, ∠BAF =∠EBC b, BF²= KF. AF

xoaixoai

a) Chứng minh ∠BAF = ∠EBC:

Ta có:

∠BAD = ∠CAD (AD là phân giác của ∠BAC)

∠BED = ∠AED (đường tiếp xúc từ một điểm ngoài đến đường tròn là vuông góc với đường tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc)

∠BAD = ∠BED (cùng nhìn vào cung BD)

∠BAF = ∠EBC (cùng nhìn vào cung BC)

Vậy, ta đã chứng minh được ∠BAF = ∠EBC.

b) Chứng minh BF² = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"}:

Ta có:

∠KBF = ∠KEF (cùng nhìn vào cung KE)

∠KAF = ∠KEF (cùng nhìn vào cung KE)

∠KBF = ∠KAF (cùng nhìn vào cung KA)

Do đó, tam giác BKF và AKF là hai tam giác đồng dạng (theo góc).

Vậy, ta có:

BF/KF = AF/AK

Từ phương trình trên, ta có:

BF = {"userId":AK,"userName":"KF.AF/AK"}

Nhưng ta biết rằng AK = AF + FK (định lí Ptolemy)

Thay AK = AF + FK vào phương trình trên, ta có:

BF = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF/"}(AF + FK)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với (AF + FK), ta có:

BF.(AF + FK) = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"}

{"userId":bf.af/,"userName":"BF.AF"} + {"userId":bf.fk/,"userName":"BF.FK"} = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"}

{"userId":bf.af/,"userName":"BF.AF"} = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"} - {"userId":bf.fk/,"userName":"BF.FK"}

{"userId":bf.af/,"userName":"BF.AF"} = AF.(KF - BF)

BF = KF - BF

BF + BF = KF

2BF = KF

BF² = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"}

Vậy, ta đã chứng minh được BF² = {"userId":kf.af/,"userName":"KF.AF"}.

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai phương trình đã cho.