Cho phương trình: 4x2 + mx + 1 = 0. Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt b) Có nghiêm kép c) Vô nghiệm d) Có nghiệm

Để giải phương trình này, chúng ta cần xét các trường hợp khác nhau dựa trên giá trị của m. a) Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện để $\Delta > 0$, trong đó $\Delta$ là delta của phương trình. Delta được tính bằng công thức: $\Delta = b^2 - 4ac$. Trong trường hợp này, $a = 4$, $b = m$ và $c = 1$. Thay vào công thức ta có: $\Delta = m^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1$ Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$. Vậy ta có điều kiện: $m^2 - 16 > 0$ Tiếp theo, chúng ta giải bất đẳng thức này: $m^2 > 16$ $(m-4)(m+4) > 0$ Từ đây, chúng ta có ba trường hợp xảy ra: - Khi $m < -4$: $(m-4) < 0$ và $(m+4) < 0$, vậy $(m-4)(m+4) > 0$ không thoả mãn. Do đó, không có nghiệm phân biệt trong trường hợp này. - Khi $-4 < m < 4$: $(m-4) < 0$ và $(m+4) > 0$, vậy $(m-4)(m+4) < 0$ thoả mãn. Do đó, không có nghiệm phân biệt trong trường hợp này. - Khi $m > 4$: $(m-4) > 0$ và $(m+4) > 0$, vậy $(m-4)(m+4) > 0$ thoả mãn. Do đó, có hai nghiệm phân biệt trong trường hợp này. Vậy ta có kết quả: Hai nghiệm phân biệt khi $(-\infty < m < -4)$ hoặc $(4 < m < \infty)$. b) Để có nghiệm kép, ta cần $\Delta = 0$. Từ công thức delta đã tính được ở trên, ta có: $m^2 - 16 = 0$ $(m-4)(m+4) = 0$ Từ đây, chúng ta có hai trường hợp xảy ra: - Khi $m = -4$: $(m-4) = (-8)$ và $(m+4) = (0)$, vậy $(m-4)(m+4) = 0$ thoả mãn. Do đó, có nghiệm kép trong trường hợp này. - Khi $m = 4$: $(m-4) = (0)$ và $(m+4) = (8)$, vậy $(m-4)(m+4) = 0$ thoả mãn. Do đó, có nghiệm kép trong trường hợp này. Vậy ta có kết quả: Có nghiệm kép khi $m = -4$ hoặc $m = 4$. c) Để không có nghiệm, ta cần $\Delta < 0$. Từ công thức delta đã tính được ở trên, ta có: $m^2 - 16 < 0$ $(m-4)(m+4) < 0$ Từ đây, chúng ta có một trường hợp xảy ra: - Khi $-4 < m < 4$: $(m-4) < 0$ và $(m+4) > 0$, vậy $(m-4)(m+4) < 0$ thoả mãn. Do đó, không có nghiệm trong trường hợp này. Vậy ta có kết quả: Không có nghiệm khi $-4 < m < 4$. d) Để có ít nhất một nghiệm, ta cần phải xét tất cả các trường hợp đã nêu ở trên. Từ đó, chúng ta có kết quả: Có ít nhất một nghiệm khi $(-\infty < m < -4)$ hoặc $(4 < m < \infty)$. Vậy đáp án cuối cùng là: Hai nghiệm phân biệt: $(-\infty < m < -4)$ hoặc $(4 < m < \infty)$ Nghiệm kép: [] Không có nghiệm thực: $(-4 < m < 4)$ Ít nhất một nghiệm thực: $(-\infty < m < -4)$ hoặc $(4 < m < \infty)$