bài 3 : tìm gtnn của phân thức C = x^2 + 7 / x^2 + 2 bài 4 : tìm gtln của phân thức D = 3 / x^2 + 6x +13 bài 5 : tìm gtnn của phân thức E = -6 / x^2 - 2x + 9

bài 3 : tìm gtnn của phân thức C = x^2 + 7 / x^2 + 2 Đây là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số phân thức. Hàm số cho trước là $C = \frac{x^2 + 7}{x^2 + 2}$. Bước 1: Đầu tiên, ta cần kiểm tra xem hàm số có tồn tại trong khoảng nào không. Trong trường hợp này, vì mẫu của phân thức không bao giờ bằng 0 (vì $x^2 + 2$ luôn dương), nên hàm số tồn tại trên toàn miền $\mathbb{R}$. Bước 2: Tiếp theo, ta cần tìm đạo hàm của hàm số. Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: $C' = \frac{(x^2 + 7)'(x^2 + 2) - (x^2 + 7)(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^{2}}$ Sau khi tính toán, ta được: $C' = \frac{4x(x^{2} -3)}{(x^{2}+2)^{2}}$ Bước 3: Đặt đạo hàm bằng không để tìm các điểm cực trị: $\frac{4x(x^{2} -3)}{(x^{2}+2)^{2}} =0$ Giải phương trình trên, ta được $x = 0$ và $x = \pm\sqrt{3}$. Bước 4: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các nghiệm vừa tìm được để xác định cực tiểu, cực đại. Ta thấy rằng hàm số có GTNN tại $x = \sqrt{3}$. Bước 5: Thay $x = \sqrt{3}$ vào hàm số ban đầu để tìm giá trị nhỏ nhất: $C_{min} = C(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^2 + 7}{(\sqrt{3})^2 + 2} = \frac{10}{5} = 2$ Vậy, giá trị nhỏ nhất của phân thức là 2. bài 4 : tìm gtln của phân thức D = 3 / x^2 + 6x +13 Đây là một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của một hàm số phân thức. Hàm số cho trước là D = \frac{3}{x^2 + 6x +13}. Bước 1: Đầu tiên, ta cần xác định miền xác định của hàm số. Trong trường hợp này, vì mẫu số của phân thức không bao giờ bằng 0 (vì $x^2 + 6x +13$ luôn dương), nên miền xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực). Bước 2: Tiếp theo, ta cần tìm đạo hàm của hàm số. Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: D' = -\frac{3(2x+6)}{(x^2+6x+13)^2} Bước 3: Đặt D' = 0 để tìm điểm cực trị: -\frac{3(2x+6)}{(x^2+6x+13)^2} = 0 Sau khi giải phương trình này, ta thu được x = -3. Bước 4: Kiểm tra xem điểm cực trị này có phải là điểm cực đại hay không. Ta có thể kiểm tra bằng cách so sánh giá trị của D tại x = -3 với giá trị của D tại các điểm khác trong miền xác định. D(-3) = \frac{3}{9+18+13} = \frac{1}{8} Vì hàm số D luôn dương và tử số là một hằng số, nên giá trị lớn nhất của D sẽ được đạt khi mẫu số nhỏ nhất. Mẫu số $x^2 + 6x +13$ đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -3 (điểm cực trị). Do đó, GTLN của D là \frac{1}{8}. bài 5 : tìm gtnn của phân thức E = -6 / x^2 - 2x + 9 Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức E, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số E(x). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông. Bước 1: Viết lại phân thức E theo dạng hoàn chỉnh: \[E = \frac{-6}{x^2 - 2x + 9}\] Bước 2: Hoàn thành khối vuông bằng cách thêm và trừ một số hợp lý vào mẫu của phân thức. Ta biết rằng nếu \(a\) là một số bất kỳ, ta có: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - b^2\] Áp dụng công thức này vào mẫu của phân thức E: \[E = \frac{-6}{(x^2 - 2x + 1) + 8}\] Bước 3: Nhận xét rằng \(x^2 - 2x + 1\) có thể được viết lại dưới dạng \((x-1)^2\). Thay thế vào biểu thức trên: \[E = \frac{-6}{(x-1)^2 + 8}\] Bước 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của E, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \((x-1)^2\). Vì \((x-1)^2\) là một số không âm, nên giá trị nhỏ nhất của nó xảy ra khi \((x-1)^2 = 0\). Từ đó, ta có \(x-1 = 0\) và \(x = 1\). Bước 5: Thay giá trị \(x=1\) vào phân thức E: \[E = \frac{-6}{(1-1)^2 + 8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\] Vậy, giá trị nhỏ nhất của phân thức E là \(-\frac{3}{4}\).