giup minh voi

Bài 1: a) Để chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm $x_1=2$ với mọi $m$, ta thay $x=2$ vào phương trình (1): $(2)^2+(3-m)(2)+2(m-5)=0$ $4+6-2m+4m-10=0$ $10+2m-10=0$ $2m=0$ $m=0$ Vậy, phương trình (1) luôn có nghiệm $x_1=2$ với mọi $m$. b) Để tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm $x_2=1+2\sqrt{2}$, ta thay $x=1+2\sqrt{2}$ vào phương trình (1): $(1+2\sqrt{2})^2+(3-m)(1+2\sqrt{2})+2(m-5)=0$ $(9+6\sqrt{8}+8)+(3-m)(1+4\sqrt{8})+12(m-5)=0$ $17+6\sqrt{8}+(3-m)+12(m-5)-4(3-m)\sqrt{8}=0$ So sánh hệ số của $\sqrt{8}$ và các hạng tử không chứa $\sqrt{8}$: Hệ số của $\sqrt{8}$: 6 và -4 Hạng tử không chứa $\sqrt{8}$: 17, 3-m, 12(m-5) Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 6-4(3-m)=0 \\ 17+3-m+12(m-5)=0 \end{cases}$ Giải hệ phương trình trên ta được: $\begin{cases} m=1 \\ m=-\frac{7}{2} \end{cases}$ Vậy, giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm $x_2=1+2\sqrt{2}$ là $m=1$ và $m=-\frac{7}{2}$. Bài 2: a) Để chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm bằng 2 với mọi $m$, ta thay $x=2$ vào phương trình: $(2m-1)(2)^2-4m(2)+4=0$ $4(2m-1)-8m+4=0$ $8m-4-8m+4=0$ $0=0$ Vậy, phương trình luôn có nghiệm bằng 2 với mọi $m$. b) Để tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm, ta sử dụng công thức delta: $\Delta=b^2-4ac$. Ta có: $\Delta=(-4m)^2-4(2m-1)(4)$ $\Delta=16(m^2-(2m-1))$ $\Delta=16(m^2-2m+1)$ $\Delta=16(m-1)^2$ Để phương trình có hai nghiệp, ta cần $\Delta>0$. Vậy, ta có: $16(m-1)^2>0$ $(m-1)^2>0$ Vì $(m-1)^2$ luôn không âm với mọi $m$, nên để phương trình có hai nghiệp, ta cần $m\neq 1$. Bài 3: a) Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm $x=1$ với mọi $m$, ta thay $x=1$ vào phương trình: $(1)^2-2(m-1)(1)+2m-3=0$ $1-2(m-1)+2m-3=0$ $4-m=0$ $m=4$ Vậy, phương trình luôn có nghiệm $x=1$ với mọi $m$. b) Để tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệp thỏa mãn $x_1-2x_2=1$, ta sử dụng công thức delta: $\Delta=b^2-4ac$. Ta có: $\Delta=(-2(m-1))^2-4(1)(2m-3)$ $\Delta=(4(m^2-2m+1))-8(2m-3)$ $\Delta=(4m^2-8m+4)-16m+24$ $\Delta=4m^2-24m+28$ Để phương trình có hai nghiệp, ta cần $\Delta>0$. Vậy, ta có: $4(4-m)(7-m)>0$ Ta cần giải phương trình bậc nhất $4-m=0$ và $7-m=0$ để tìm các điểm chuyển dấu. Ta có: $m=4$ và $m=7$ Vậy, ta có các khoảng chuyển dấu là $(-\infty, 4)$, $(4, 7)$ và $(7, +\infty)$. Ta lấy một điểm kiểm tra trong mỗi khoảng chuyển dấu để xác định dấu của biểu thức. Khi chọn $m=3$, ta có: $4(4-3)(7-3)>0$, biểu thức âm. Khi chọn $m=5$, ta có: $4(4-5)(7-5)>0$, biểu thức dương. Vậy, giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệp thỏa mãn $x_1-2x_2=1$ là $m\in (4, 7)$. Bài 4: a) Khi $m=0$, phương trình trở thành: $x^2-(2(0)+2)x+(0)^2+2(0)=x^2-2x=x(x-2)=0$ Phương trình có hai nghiệp là $x=0$ và $x=2$. b) Để tìm giá trị của $m$ để phương trình nhận số 4+$\sqrt{2017}$ là một nghiệp, ta sử dụng công thức delta: $\Delta=b^2-4ac$. Ta có: $\Delta=(-2m-2)^2-4(1)(m^2+2m)$ $\Delta=4(m^2+4m+4)-4(m^2+2m)$ $\Delta=16$ Để phương trình nhận số 4+$\sqrt{2017}$ là một nghiệp, ta cần $\Delta=16$ và $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(2m+2)}{2}=-(m+1)$. Vậy, ta có: $-(m+1)=4+\sqrt{2017}$ $m=-5-\sqrt{2017}$ Vậy, giá trị của $m$ để phương trình nhận số 4+$\sqrt{2017}$ là một nghiệp là $m=-5-\sqrt{2017}$. c) Để tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệp thỏa mãn $x_1-x_2=m^2+2$, ta sử dụng công thức delta: $\Delta=b^2-4ac$. Ta có: $\Delta=(-(2m+2))^2-4(1)(m^2+2m)$ $\Delta=(4(m^2+4m+4))-4(m^3+8)$ $\Delta=12-8(m^3+m)$ Để phương trình có hai nghiệp, ta cần $\Delta>0$. Vậy, ta có: $12-8(m^3+m)>0$ $m^3+m< \frac{3}{8}$ Để tìm các điểm chuyển dấu, ta giải phương trình bậc hai $m^3+m=\frac{3}{8}$. Ta có: $m=-\frac{1}{2}$ và $m=\frac{1}{2}$ Vậy, ta có các khoảng chuyển dấu là $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Ta lấy một điểm kiểm tra trong mỗi khoảng chuyển dấu để xác định dấu của biểu thức. Khi chọn $m=0$, ta có: $0^3+0< \frac{3}{8}$, biểu thức âm. Khi chọn $m=1$, ta có: $1^3+1< \frac{3}{8}$, biểu thức âm. Vậy, giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệp thỏa mãn $x_1-x_2=m^2+2$ là $m\in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.