Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC). Biết AB = 15cm, AC = 20cm Từ H kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC tại E và F. 1) Tính BC, AH. 2) Chứng minh: ∆AEH đồng dạng ∆AH...

1) Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại $\displaystyle A$ có $\displaystyle AB^{2} +AC^{2} =BC^{2} \ $(pytago)

⟹ $\displaystyle BC=\sqrt{15^{2} +20^{2}} =25$ (cm)

Lại có: $\displaystyle AH.BC=AB.AC$ (hệ thức lượng)

⟹ $\displaystyle AH=\frac{AB.AC}{BC} =\frac{15.20}{25} =12$ (cm)

2) Xét $\displaystyle \vartriangle AEH$ và $\displaystyle \vartriangle AHB$ có: $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{AEH} =\widehat{AHB} & \\
\hat{A} \ chung & 
\end{cases} \Longrightarrow \vartriangle AEH\backsim \vartriangle AHB\ ( g.g)$

⟹ $\displaystyle \frac{AE}{AH} =\frac{AH}{AB} \Longrightarrow AH^{2} =AE.AB$

3) Xét tứ giác $\displaystyle AEHF$ có $\displaystyle \hat{A} =\widehat{AEH} =\widehat{AFH} \Longrightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

⟹ $\displaystyle \widehat{EAH} =\widehat{AEF}$

mà $\displaystyle \widehat{EAH} +\widehat{HAC} =90^{o}$ và $\displaystyle \widehat{HAC} +\widehat{ACH} =90^{o}$

⟹ $\displaystyle \widehat{EAH} =\widehat{ACH}$ hay $\displaystyle \widehat{AEF} =\hat{C}$

Xét $\displaystyle \vartriangle AFE$ và $\displaystyle \vartriangle ABC$ có: $\displaystyle \begin{cases}
\hat{A} \ chung & \\
\widehat{AEF} =\widehat{ACB} & 
\end{cases} \Longrightarrow \vartriangle AFE\backsim \vartriangle ABC\ ( g.g)$