cho 2023 số nguyên dương a1 , a2 ,...,a2023 thỏa mãn: 1/a1 +1/a2 + ... + 1/a2023 = 300 chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong đó 2023 số đã cho bằng nhau

Loại bài toán: Bài toán chứng minh trong Toán học. Bước 1: Giả sử rằng không có hai số nào trong dãy số đã cho bằng nhau. Điều này có nghĩa là tất cả các số $a_i$ đều khác nhau. Bước 2: Vì tất cả các số $a_i$ đều là số nguyên dương, nên giá trị nhỏ nhất mà một $a_i$ có thể nhận được là 1. Bước 3: Nếu giả sử $a_1 = 1$, thì để tổng $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_{2023}} = 300$, thì $\frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_{2023}}$ phải bằng 299. Bước 4: Nhưng vì tất cả các $a_i$ đều khác nhau và đều lớn hơn hoặc bằng 1, nên giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{a_2}$ là $\frac{1}{2}$ (vì $a_2$ không thể bằng 1). Tương tự, giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{a_3}$ là $\frac{1}{3}$, và tiếp tục cho đến khi giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{a_{2023}}$ là $\frac{1}{2023}$. Bước 5: Do đó, giá trị nhỏ nhất mà tổng $\frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_{2023}}$ có thể đạt được là $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2023}$. Bước 6: Nhưng theo công thức tổng của dãy số nghịch đảo, ta có: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2023} > ln(2023)$ Và $ln(2023) < 8$, điều này rõ ràng nhỏ hơn 299. Bước 7: Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng không có hai số nào trong dãy số đã cho bằng nhau. Do đó, chúng ta phải kết luận rằng phải có ít nhất hai số trong dãy số đã cho bằng nhau.