tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x - 1) = x
từ đó áp dụng tính tổng S = 1 + 2 + 3 + ... + n

Question

key_thieu_iot_oho · Accepted Answer

Dạng tổng quát của đa thức là :

$\displaystyle f( x) \ =ax^{2} +bx+c$

Ta có :

$\displaystyle f( x-1) \ =\ a.( x-1)^{2} +b.( x-1) +c$

$\displaystyle f( x) \ -\ f( x-1) \ =\ 2ax\ -a+b=x$

$\displaystyle \Longrightarrow \ \begin{cases}
2a\ =\ 1 & \
b-a\ =\ 0\ &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
a=\frac{1}{2} & \
b=\ \frac{1}{2} &
\end{cases}$

Vậy đa thức phải tìm là :

$\displaystyle f( x) \ =\ \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x+c$

Áp dụng :

Với x= 1 ta có : $\displaystyle 1\ =\ f( 1) \ -f( 0)$

Với x= 2 ta có : $\displaystyle 2\ =\ f( 2) \ -\ f( 1)$

.........

Với x = n ta có : $\displaystyle n=\ f( n) \ -\ f( n-1)$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S\ =\ 1+2+3+....+n\ =\ f( n) \ -\ f( 0) \ \
=\ \frac{1}{2} n^{2} +\frac{1}{2} n+c-c\ =\ \frac{n.( n+1)}{2}
\end{array}$

Timi · Answer

tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x - 1) = x
Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán về đa thức và phương trình đa thức.

Bước 1: Đặt f(x) = ax^2 + bx + c (vì f(x) là đa thức bậc hai)

Bước 2: Thay f(x) và f(x - 1) vào phương trình đã cho, ta có:

ax^2 + bx + c - a(x-1)^2 - b(x-1) - c = x

Sắp xếp lại, ta được:

a(2x-1) + b = x

Bước 3: So sánh hệ số, ta có:

a = 0.5
b = 0

Vậy, đa thức f(x) mà chúng ta tìm được là f(x) = 0.5x^2.

từ đó áp dụng tính tổng S = 1 + 2 + 3 + ... + n
Để tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên, ta sử dụng công thức sau đây:
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Với n = 10, ta có:
$$ S = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55 $$

Do đó, tổng của 10 số tự nhiên đầu tiên là 55.

tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x - 1) = x từ đó áp dụng tính tổng S = 1 + 2 + 3 + ... + n