Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.

Loại bài toán: Bài toán chứng minh trong Toán học. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu $n$ không chia hết cho 4 thì tồn tại một chuỗi con liên tiếp gồm 2 hoặc 3 phần tử. Ta sẽ xem xét các trường hợp sau: 1) Trường hợp có chuỗi con gồm 2 phần tử: Giả sử $x_i$ và $x_{i+1}$ là hai phần tử liên tiếp trong chuỗi. Khi đó, ta có hai khả năng: - Nếu $x_i = x_{i+1} = 1$, thì $x_i.x_{i+1} = 1$. - Nếu $x_i = -1$ và $x_{i+1} = -1$, thì $x_i.x_{i+1} = 1$. Trong cả hai trường hợp, ta đều thu được kết quả là 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là tổng của các tích bằng 0. 2) Trường hợp có chuỗi con gồm 3 phần tử: Giả sử $x_j$, $x_{j+1}$ và $x_{j+2}$ là ba phần tử liên tiếp trong chuỗi. Khi đó, ta có ba khả năng: - Nếu cả ba số đều bằng 1 hoặc -1, thì tổng của các tích sẽ là 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. - Nếu có hai số bằng 1 và một số bằng -1 hoặc ngược lại, thì tổng của các tích sẽ là -1, điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vậy nếu $x_1.x_2 + x_2.x_3 + ...+ x_n.x_1 = 0$ thì $n$ phải chia hết cho 4.