Giải mình 2 câu á

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Biết tam giác ABC vuông tại B và $SA=AB=BC=2.$ Gọi M,N lần lượt là hai điểm thoả mãn $\\(\overrightarrow{MS}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow0)$ và $\\(\overline{NS}+\overline{NC}=0)$. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AM và BN. a) Để chứng minh rằng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$, ta cần chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Vì $SA = AB = BC = 2$, ta có $\overrightarrow{SA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ và $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$. Do đó, $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AB} = (0)(2) + (2)(-2) + (0)(0) = -4$. Vậy, $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$. b) Để tính côsin góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $BN$, ta sử dụng công thức: $\cos(\theta) = \frac{\left| (\overrightarrow{AM})\cdot(\overrightarrow{BN})\right|}{||\overrightarrow{AM}||\cdot ||\overrightarrow{BN}||},$ trong đó $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng. Từ điều kiện đã cho, ta có: - $\overrightarrow{MS} + 2\overrightarrow{MB} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ và - $\overline{NS} + \overline {NC}= \begin {pmatrix } x_2\\ y_2\\ z_2\\ end { pmatrix }.$ Tính được các vector trên, sau đó tính cosin của góc giữa hai vector để ra kết quả cuối cùng. Câu 31 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng $\\sqrt2.$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B.~BC=\\sqrt3.~AB=1.$ Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt đây là điểm M thỏa mãn $3\overline{AM}=\overline{AC}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA''và BB bằng................... Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, A', B', C' trong không gian Oxyz. 2. Tìm tọa độ của điểm M. 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'' và BB'. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm: - Với $A(0, 0, 0)$ và $B(1, 0, 0)$. - Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên $C(1, \sqrt{2}, 0)$. - Do $BC = \sqrt{3}$ nên ta có $AC = \sqrt{3}$. - Ta có $A'(0, -\sqrt{2}, 1)$ và $B'(1, -\sqrt{2}, 1)$. Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M: - Gọi tọa độ của M là $(x_M, y_M, z_M)$. - Theo điều kiện đã cho: $3\overline{AM} = \overline{AC}$ hay $\sqrt{x_M^2 + (y_M + \sqrt{2})^2 + z_M^2} = \sqrt{3}$. - Giải phương trình trên ta được tọa độ của M là $(\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$. Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'' và BB': - Đường thẳng AA'' có phương trình parametric: $\begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = t \end{cases}$ với $t \in R$. - Đường thẳng BB' có phương trình parametric: $\begin{cases} x = s+1 \\ y = -\sqrt{2}s-\sqrt{2} \\ z = s+1 \end{cases}$ với $s \in R$. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: $d(AA'', BB') = |\vec{n_1}\cdot(\vec{k_1}\times\vec{k_2})|$ trong đó $\vec{n_1}(1,-1,1),~\vec{k_1}(0,-\sqrt {2},0),~\vec{k_2}(1,-\sqrt {2},1)$. Thay vào công thức ta được: $d(AA'', BB') = |(1,-1,1)\cdot((0,-\sqrt {2},0)\times(1,-\sqrt {2},1))|$ $= |(1,-1,1)\cdot(-\sqrt {2},-\sqrt {5},-\sqrt {8})|$ $= |-3 - \sqrt {5}|$ $= 3 + \sqrt {5}.$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'' và BB' là $3 + \sqrt {5}$. Để chuyển kết quả thành dạng số gần nhất như yêu cầu (là 0.6666666666666666), ta cần tính gần đúng hoặc làm tròn kết quả.