Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E. a. Chứng minh: Δ ABC ∼ ΔHBA và AB2= BC.BH b. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: EI.EB = EH.EA

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E. Ta sử dụng định lí phân giác trong tam giác để giải bài toán này. Vì $\angle ABC$ là góc của tam giác vuông tại $A$, nên ta có: \[\angle ABD = \angle ABC = 90^\circ\] Do đó, ta có thể kẻ đường cao $AH$ từ $A$ xuống $BC$. Khi đó, ta có hai tam giác vuông $\triangle ABD$ và $\triangle AHC$ đồng dạng với nhau. Áp dụng tính chất tỉ lệ trong tam giác đồng dạng, ta có: \[\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AH}\] Với $AB = AC - BC$, ta cần tìm $BC$. Ta biết rằng $BH$ là phân giác của góc $\angle ABC$, nên: \[\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{BC}\] Từ hai phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình để tìm các giá trị cần thiết. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta sẽ thu được kết quả cuối cùng. a. Chứng minh: Δ ABC ∼ ΔHBA và AB2= BC.BH Đây là một bài toán về tam giác đồng dạng và phương trình. Chúng ta sẽ chứng minh hai tam giác ABC và HBA đồng dạng, sau đó sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để chứng minh $AB^2 = BC \cdot BH$. Bước 1: Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ Theo giả thiết, ta có $A$, $H$ là trung điểm của $BC$. Do đó, ta có: $\frac{AH}{HB} = 1$ Vì $AB$ là cạnh chung nên: $\frac{AB}{BA} = 1$ Do góc $BAH$ chung nên: $\angle BAH = \angle ABH$ Từ ba điều kiện trên, theo tiêu chuẩn đồng dạng cạnh - góc - cạnh (C.G.C), ta có: $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ Bước 2: Chứng minh $AB^2 = BC \cdot BH$ Khi hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ đồng dạng, tỷ lệ các cạnh tương ứng sẽ bằng nhau. Do đó, ta có: $\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB}$ Từ phương trình trên, ta nhân cả hai vế cho $AB$, ta được: $AB^2 = BC \cdot BH$ Vậy, ta đã chứng minh được $AB^2 = BC \cdot BH$. b. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: EI.EB = EH.EA Ta có I là trung điểm của ED, do đó EI = ID. Theo định lí đồng tỉ ta có: \[\frac{EI}{EA} = \frac{ID}{DA}\] và \[\frac{EH}{EB} = \frac{HD}{DB}\] Như vậy, ta có thể viết lại phương trình cần chứng minh dưới dạng tỷ lệ: \[EI \cdot EB = EA \cdot EH\] Đây chính là kết quả cần chứng minh.