Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p-1)(p+1) chia hết cho 24

Ta có thể chứng minh rằng $(p-1)(p+1)$ luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố $p$ lớn hơn 5 bằng cách sử dụng định lý về tích của các số liên tiếp. Với mỗi số nguyên tố $p$ lớn hơn 5, ta có thể biểu diễn $p$ dưới dạng $6k \pm 1$ với $k$ là một số nguyên. Do đó: $ \begin{aligned} (p-1)(p+1) &= (6k \pm 1 - 1)(6k \pm 1 + 1) \\ &= (6k)(6k \pm 2) \\ &= 12k(3k \pm 1). \end{aligned} $ Vì $3k \pm 1$ luôn chia hết cho 2, nên $(p-1)(p+1)$ chia hết cho $24 = 2 \times 3 \times 4$. Điều này được minh chứng trong các ví dụ đã cung cấp. Ví dụ: Với số nguyên tố $p =7$, ta có $(7-1)(7+1) =48$, là bội của 24.