Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Đường phân giác của ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E. a) Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính AC? b) Chứng minh: c) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh d). Chứng...

a) $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại $\displaystyle A$
⟹ $\displaystyle BC^{2} \ =\ AB^{2} \ +\ AC^{2}$
⟹ $\displaystyle AC^{2} \ =\ BC^{2} \ -\ AB^{2} \ =\ 15^{2} \ -\ 9^{2} \ =\ 144\ =\ 12^{2}$
⟹ $\displaystyle AC\ =\ 12$
c) Xét ΔABC và ΔHBA có:
$\displaystyle \hat{A} =\hat{H} =90^{O}$
$\displaystyle \hat{B}$ góc chung
Do đó  ΔABC∼ΔHBA(g.g)
⇒$\displaystyle \frac{AB}{HB} =\frac{BC}{AB}$
⇒AB2=BC.BH
Xét ΔABD vuông tại A có: $\displaystyle \widehat{ADB} =\widehat{ADE} =90^{0} −\widehat{ABD}$
mà $\displaystyle \widehat{ABD} =\widehat{DBC} =\widehat{EBH}$ (gt)
nên $\displaystyle \widehat{ADE} =90^{o} −\widehat{EBH}$
Xét ΔEBH vuông tại H có:
$\displaystyle \widehat{HEB} =90^{o} −\widehat{EBH}$
mà $\displaystyle \widehat{HEB} =\widehat{AED}$ (đối đỉnh)
nên $\displaystyle \widehat{AED} =90^{o} −\widehat{EBH}$
Do đó: $\displaystyle \widehat{ADE} =\widehat{AED}$
⇒ΔAED cân tại A
Ta lại có: I là trung điểm cạnh đáy DE
⇒AI⊥DE
Xét ΔABI và ΔDBA có:
$\displaystyle \hat{I} =\hat{A} =90^{o}$
$\displaystyle \hat{B}$ góc chung
Do đó  ΔABI∼ΔDBA(g.g)
⇒$\displaystyle \frac{AB}{BD} =\frac{BI}{AB}$
⇒$\displaystyle AB^{2} =BD.BI$
mà $\displaystyle AB^{2} =BC.BH$ (câu a)
nên BD.BI=BC.BH
⇒$\displaystyle \frac{BH}{BD} =\frac{BI}{BC}$
Xét ΔBIH và ΔBCD có:
$\displaystyle \hat{B}$ góc chung
$\displaystyle \frac{BH}{BD} =\frac{BI}{BC}$(cmt)
Do đó ΔBIH∼ΔBCD (c.g.c)
⇒$\displaystyle \widehat{BIH} =\widehat{BCD}$
⇒$\displaystyle \widehat{BIH} =\widehat{ACB}$