Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BE, CF. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh MEF cân và AEF = ABC

$\displaystyle \vartriangle BFC$ vuông tại F có: FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow FM=\frac{BC}{2}$
$\displaystyle \vartriangle BEC$ vuông tại E có: EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow EM=\frac{BC}{2}$
Do đó $\displaystyle EM=FM$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle MEF$ cân tại M
Xét $\displaystyle \vartriangle ABE$ vuông tại E và $\displaystyle \vartriangle AFC$ vuông tại F có:
$\displaystyle \widehat{BAC} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABE\backsim \vartriangle ACF$(g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AB}{AC} =\frac{AE}{AF} \Longrightarrow \frac{AB}{AE} =\frac{AC}{AF}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ và $\displaystyle \vartriangle AEF$ có:
$\displaystyle \frac{AB}{AE} =\frac{AC}{AF}$
$\displaystyle \widehat{BAC} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABC\backsim \vartriangle AEF$ (c.g.c)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABC} =\widehat{AEF}$ (2 góc tương ứng)