Cho tam giác ABC vuông ở B, tia phân giác CD. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC ở E. Chứng minh rằng a) DE=DB b) DA>DB

Loại bài toán: Bài toán chứng minh trong hình học không gian. Giải bài toán: a) Chúng ta cần chứng minh DE = DB Trong tam giác ABC vuông tại B, CD là tia phân giác nên ta có: \[\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\] (1) Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC ở E nên tam giác ADE và tam giác BDC đều vuông tại D. Do đó, theo định lý Pythagoras, ta có: \[AD^2 = DE^2 + AE^2\] (2) và \[BD^2 = DE^2 + DC^2\] (3) Từ (1), ta suy ra BD = AD * AB / AC. Thay vào (3), ta được: \[AD^2 * AB^2 / AC^2 = DE^2 + DC^2\] Đặt x = AD, y = AB, z = AC. Ta có: \[x^4 / z^4 - x^4 / z^2 + y ^ 4 / z ^ 4 - y ^ 4 / z ^ 2 = 0\] Sắp xếp lại, ta được: \[x ^ 4 * (z ^ 2 - y ^ 2) / z ^ 4 + y ^ 4 * (z ^ 2 - x ^ 2) / z ^ 4 = 0\] Do \(z > x\) và \(z > y\) nên \(z ^ 2 - x ^ 2 > 0\) và \(z ^ 2 - y ^ 2 > 0\). Vì vậy, ta có: \[x ^ 4 = y ^ 4\] Từ đó suy ra \(x = y\) hay \(DE = DB\). b) Chúng ta cần chứng minh DA > DB Trong tam giác ABC vuông tại B, CD là tia phân giác nên AC > AB. Do đó, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \[DA = AD + AE > BD + DE = DB\] Vậy đã chứng minh được DA > DB.