) Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36. b) Học sinh khối lớp 6 của trường THCS A khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 thì đều thiếu một người, xếp hàng 7 thì vừa đủ. B...

Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36. Đây là một bài toán về số học. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và tổng của hai số. Gọi hai số cần tìm là $a$ và $b$. Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} a + b = 432\\ gcd(a, b) = 36 \end{cases} \] Vì ƯCLN của $a$ và $b$ là 36, nên cả hai số đều chia hết cho 36. Do đó, ta có thể viết lại hai số này dưới dạng: $a = 36x$, $b = 36y$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên. Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: \[36x + 36y = 432 \Rightarrow x + y = \frac{432}{36} =12.\] Vì x và y là các số nguyên dương (vì a và b là các số tự nhiên), nên giá trị có thể của x và y sẽ từ 1 đến 11 (điều này để đảm bảo rằng cả x và y không âm). Tuy nhiên, do gcd(a,b)=36, tức là a và b không có ước chung nào khác ngoài 1 và chính nó sau khi chia cho 36. Do đó, x và y phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Vậy, cặp giá trị thỏa mãn là (x,y) = (3,9) hoặc (9,3). Do đó, hai số cần tìm là: $a = 36*3 = 108$ và $b = 36*9 = 324$ hoặc $a = 36*9 = 324$ và $b = 36*3 = 108$. Học sinh khối lớp 6 của trường THCS A khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 thì đều thiếu một người, xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa tới 300. Tính số học sinh khối lớp 6 của trường đó? Loại bài toán: Bài toán tìm số theo điều kiện chia hết. Bài toán yêu cầu tìm số học sinh trong khối lớp 6 sao cho khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 thì đều thiếu một người và khi xếp hàng 7 thì vừa đủ. Điều này có nghĩa là số học sinh phải chia hết cho 7 và khi chia cho 2,3,4,5,6 thì đều dư một. Đặt $x$ là số học sinh cần tìm. Theo các điều kiện đã cho ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x \equiv -1 \;(\text{mod}\;2)\\ x \equiv -1 \;(\text{mod}\;3)\\ x \equiv -1 \;(\text{mod}\;4)\\ x \equiv -1 \;(\text{mod}\;5)\\ x \equiv -1 \;(\text{mod}\;6)\\ x \equiv 0\;\ (\text{mod}\;7) \end{cases} \] Do $-1$ mod $n$ (với $n = 2,3,4,5,$ hoặc $6$) tương đương với $(n-1)$ mod $n$, nên ta có thể viết lại hệ phương trình như sau: \[ \begin{cases} x \equiv 1\; (\text{mod}\;2)\\ x \equiv 2\; (\text{mod}\;3)\\ x \equiv 3\; (\text{mod}\;4)\\ x \equiv 4\; (\text{mod}\;5)\\ x \equiv 5\;\ (\text{mod}\;6)\\ x \equiv 0\;\ (\text{mod}\;7) \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta tìm được $x = 119$ là nghiệm nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện của bài toán và $x < 300$. Vậy số học sinh khối lớp 6 của trường đó là 119.