củng cố 7 và 8

Trên trường số phức, tìm a để phương trình $z^2+(a-2)z+a^2-2a=0$ có hai nghiệm phức $z_1;z_2$ phân biệt thỏa mãn $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$ Đầu tiên, ta có thể biểu diễn hai nghiệm của phương trình như sau: \(z_1 + z_2 = -(a-2)\) và \(z_1.z_2 = a^2 - 2a\). Đề bài yêu cầu tìm giá trị của \(a\) sao cho \(|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|\). Điều này có nghĩa là tổng và hiệu của hai nghiệm phức này có cùng độ lớn. Ta biết rằng, \(|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z}_1 - \overline{z}_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2Re(z_1.\overline{z}_2)\), với \(\overline{z}\) là liên hợp của số phức \(z\). Tương tự, ta cũng có: \(|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z}_1 + \overline{z}_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2Re(z_1.\overline{z}_2)\). Do đó, từ điều kiện đã cho, ta suy ra được: \[Re(z_{1}.\overline{z}_{2})=0 \Rightarrow Im(z_{1}.\overline{z}_{3})=0\] Vì vậy, ta có: \(z_1.z_2 = a^2 - 2a\) là một số thực. Từ đây, ta suy ra được giá trị của \(a\) là \(a = 0\) hoặc \(a = 2\). Trên tường số phức, tìm m để phương trình $z^2-2mz+6m-5=0$ có 2 nghiệm phức phân biệt $z_1;z_2$ thỏa mãn $|z_1|=|z_2|$ Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí về nghiệm phức của phương trình bậc hai. Theo đó, phương trình $az^2+bz+c=0$ có 2 nghiệm phức phân biệt $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $|z_1|=|z_2|$ khi và chỉ khi $\Delta = b^2-4ac < 0$. Ứng dụng vào bài toán, ta có phương trình $z^2-2mz+6m-5=0$. Để có 2 nghiệm phức phân biệt thỏa mãn $|z_1|=|z_2|$, ta cần giải điều kiện $\Delta < 0$. Ta tính $\Delta = (-2m)^2 - 4(6m-5) = 4m^2 - 24m + 20$. Điều kiện để có 2 nghiệm phức phân biệt là $\Delta < 0$, tức là $4m^2 - 24m + 20 < 0$. Giải bất đẳng thức này, ta được khoảng giá trị của m: $ [-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 6, 7, 8, 9, 10] $