vshscxxhnnjhfc

1.
Gọi O là tâm đáy ABCD
$\displaystyle \Rightarrow SO\bot ( ABCD)$ (S.ABCD là hình chóp đều)
$\displaystyle OA=\frac{1}{2} AC=\frac{1}{2} .\sqrt{AB^{2} +BC^{2}} =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tam giác SOA vuông tại O có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
SO^{2} =SA^{2} -OA^{2}\\
SO=\sqrt{SA^{2} -OA^{2}} =\frac{a\sqrt{6}}{2}
\end{array}$
2.
$\displaystyle MN//AD;AD\in ( ABCD)$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow d( MN;( ABCD)) =d( M;( ABCD))\\
\frac{d( M;( ABCD))}{d( S;( ABCD))} =\frac{MA}{SA} =\frac{1}{2} \Rightarrow d( M;( ABCD)) =\frac{1}{2} .d( S;( ABCD)) =\frac{1}{2} .SO=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{6}}{2} =\frac{a\sqrt{6}}{4}
\end{array}$
3.
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
MN//AD\\
\Rightarrow d( MN;CD) =d( MN;( ABCD)) =\frac{a\sqrt{6}}{4}
\end{array}$
4.
Kẻ $\displaystyle OH\bot SB$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AC\bot BD\\
SO\bot AC\\
\Rightarrow AC\bot ( SBD)\\
\Rightarrow AC\bot OH( \in ( SBD))\\
SB\bot OH\\
\Rightarrow d( SB;AC) =OH
\end{array}$
Tam giác SOB vuông tại O, đường cao OH có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{OH^{2}} =\frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OB^{2}} =\frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OA^{2}}\\
\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{4}
\end{array}$