Cho x,y,z nguyên thỏa mãn: x^2+y^2+z^2 = 2xyz. CMR: xyz chia hết cho 24

Question

emyeuanh · Accepted Answer

Giả sử $\displaystyle ( x_{0} ;y_{0} ;z_{0})$ là một nghiệm nguyên của phương trình
Do $\displaystyle x_{0}^{2} +y_{0}^{2} +z_{0}^{2} =2xyz$ là một số chẵn nên trong các số $\displaystyle x_{0} ;y_{0} ;z_{0}$ có một số chẵn các số lẻ.
Nếu $\displaystyle x_{o} ;y_{0} ;z_{0}$ đều lẻ thì $\displaystyle x_{0}^{2} +y_{0}^{2} +z_{0}^{2} ⋮̸2;2xyz\vdots 2$ nên loại
Nếu $\displaystyle x_{0} ;y_{0} ;z_{0}$ có hai số lẻ thì không mất tính tổng quát ta giả sử
$\displaystyle x_{0} ;y_{0}$ lẻ , $\displaystyle z_{0}$ chẵn ta được
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x_{0} =2a+1\
y_{0} =2b+1\
z_{0} =2c
\end{array}$
$\displaystyle ( a,b,c\in Z)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow x_{0}^{2} +y_{0}^{2} +z_{0}^{2} =( 2a+1)^{2} +( 2b+1)^{2} +( 2c)^{2}\
=4a^{2} +4b^{2} +4( a+b) +2⋮̸\ 4+2x_{0} y_{0} z_{0} \vdots 4
\end{array}$
Vậy $\displaystyle x_{0} ;y_{0} ;z_{0}$ đều chẵn
Đặt $\displaystyle x_{0} =2x_{1} ;y_{0} =2y_{1} ;z_{0} =2z_{1}$ ta được:
$\displaystyle x_{1}^{2} +y_{1}^{2} +z_{1}^{2} =4x_{1} y_{1} z_{1}$
Lý luạn tương tự ta được $\displaystyle x_{1} ;y_{1} ;z_{1}$ là các số chẵn
Điều đó chỉ đúng khi $\displaystyle x_{0} =y_{0} =z_{0} =0$
Vậy$\displaystyle \ x.y.z=0.0.0\vdots 24$

Timi · Answer

Đây là một bài toán về số học, cụ thể là chia hết và phương trình bậc hai. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng các nguyên tắc của số học và đại số.

Bước 1: Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:

$$x^2 - 2yz + y^2 + z^2 = 0$$

Bước 2: Sắp xếp lại các số hạng, ta được:

$$(x-yz)^2 = (yz)^2 - 2yz*x + x^2$$

Bước 3: Nhận ra rằng đây là công thức hoàn chỉnh của bình phương, ta có:

$$(x-yz)^2 = (yz-x)^2$$

Bước 4: Vì mỗi bên của phương trình đều không âm, nên chúng chỉ có thể bằng nhau khi và chỉ khi $x=yz$ hoặc $x=-yz$.

Trường hợp 1: Nếu $x=yz$ thì $xyz=y^3=z^3=x^3$ nghĩa là $x=y=z$. Do đó, từ phương trình ban đầu ta suy ra được $x=y=z=0$ hoặc $x=y=z=4$.

Trường hợp 2: Nếu $x=-yz$ thì $-xyz=-y^3=-z^3=-x^3$ nghĩa là $x=-y=-z$. Do đó, từ phương trình ban đầu ta suy ra được $x=-y=-z=0$ hoặc $x=-y=-z=2$.

Vậy, các giá trị nguyên thỏa mãn phương trình là $(x,y,z)=(0,0,0)$, $(4,4,4)$, và $(2,-2,-2)$. Dễ thấy rằng tất cả các giá trị này đều chia hết cho 24. Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.