18/04/2024
Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
18/04/2024
18/04/2024
Câu 41: A
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
log_{2}\left( x^{2} +y^{2} +2y\right) +log_{3}\left( x^{2} +y^{2}\right) \leqslant log_{2} y+log_{3}\left( x^{2} +y^{2} +16y\right)\\
\Leftrightarrow log_{2}\left( x^{2} +y^{2} +2y\right) -log_{2} y\leqslant log_{3}\left( x^{2} +y^{2} +16y\right) -log_{3}\left( x^{2} +y^{2}\right)\\
\Leftrightarrow \ log_{2}\left(\frac{x^{2} +y^{2} +2y}{y}\right) \ \leqslant \ log_{3}\left(\frac{x^{2} +y^{2} +16y}{x^{2} +y^{2}}\right)\\
\Leftrightarrow log_{2}\left(\frac{x^{2} +y^{2}}{y} +2\right) \ \leqslant \ log_{3}\left( 1+\frac{16y}{x^{2} +y^{2}}\right)
\end{array}$
Đặt $\displaystyle t\ =\ $\displaystyle \frac{x^{2} +y^{2}}{y} \ >\ 0$
⟹ $\displaystyle log_{2}( t+2) \ \leqslant \ log_{3}\left( 1+\frac{16}{t}\right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow log_{2}( t+2) \ -\ log_{3}\left( 1+\frac{16}{t}\right) \leqslant 0$ (1)
Xét hàm $\displaystyle f( t) \ =\ log_{2}( t+2) \ -\ log_{3}\left( 1+\frac{16}{t}\right)$
⟹ $\displaystyle f'( t) \ =\ \frac{1}{( t\ +\ 2) .ln2} \ +\ \frac{\frac{16}{t^{2}}}{\left( 1\ +\ \frac{16}{t}\right) .ln3} \ >\ 0\ \forall \ t\ >\ 0$
⟹ $\displaystyle f( t)$ là hàm đồng biến trên $\displaystyle ( 0;\ +\infty )$
⟹ Phương trình $\displaystyle f( t) \ =\ 0$ có nghiệm duy nhất $\displaystyle t\ =\ 2$
⟹ (1) có nghiệm là $\displaystyle 0\ < \ t\ \leqslant \ 2$
⟹ $\displaystyle 0\ < \frac{x^{2} +y^{2}}{y} \leqslant \ 2\ $
⟹ $\displaystyle x^{2} \ +\ y^{2} \ -\ 2y\ \leqslant \ 0$
⟹ $\displaystyle x^{2} \ +\ ( y\ -\ 1)^{2} \ \leqslant \ 1$
⟹ $\displaystyle x,\ y$ nằm trong đường tròn tâm $\displaystyle I( 0;\ 1)$ có bán kính $\displaystyle R\ =\ 1$
Gỉa sử giá trị lớn nhất của $\displaystyle P\ =\ x\ +\ 2y\ =\ k$ ⟹ $\displaystyle x\ +\ 2y\ -\ k\ =\ 0$
Từ hình vẽ ⟹ $\displaystyle P\ max$ khi đường thẳng $\displaystyle x\ +\ 2y\ -\ k\ =\ 0$ tiếp xúc với đường tròn (như vị trí đường xanh lá ở hình vẽ)
⟹ $\displaystyle d( I,\ d) \ =\ 1$ với $\displaystyle I( 0;\ 1)$
⟹ $\displaystyle \frac{|0.1+1.2-k|}{\sqrt{1^{2} +2^{2}}} \ =\ 1$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow \ |2\ -\ k|\ =\ \sqrt{5}\\
\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l l}
2\ -\ k\ =\ \sqrt{5}\\
2\ -\ k\ =\ -\sqrt{5}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l l}
k\ =\ 2 \ +\ \sqrt{5}\\
k\ =\ 2\ -\sqrt{5}
\end{array} \right.
\end{array}$
⟹ $\displaystyle P_{max} \ =\ 2\ +\ \sqrt{5}$
18/04/2024
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
5 giờ trước
6 giờ trước
7 giờ trước
8 giờ trước
9 giờ trước
Top thành viên trả lời