giúp mình với

Câu 13: Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2-2(m-1)x+m+5,$ với m là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Khi $m=4,~f(x)$ có một nghiệm là $x=3.$ b) Điều kiện để $f(x)$ luôn có hai nghiệm phân biệt là $m< -1$ hoặc $m>4.$ c) Khi $m=-1$ thì $f(x)>0, orall x ext{in} R.$ d) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $ rac{f(x)}{x^2+x+3} ext{geq}0$ 0 nghiệm đúng với mọi $x ext{in} R. Đây là một bài toán về tam thức bậc hai và tham số. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của câu hỏi. a) Khi $m=4,~f(x)$ có một nghiệm là $x=3.$ Thay $m = 4$ vào tam thức ta được: $f(x) = x^2 - 2(4-1)x + 4 + 5 = x^2 - 6x + 9$. Đây chính là $(x-3)^2$, nên nó chỉ có một nghiệm duy nhất là $x=3$. Vì vậy, mệnh đề này đúng. b) Điều kiện để $f(x)$ luôn có hai nghiệm phân biệt là $m< -1$ hoặc $m>4.$ Tam thức bậc hai $f(x)=x^2-2(m-1)x+m+5$ sẽ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0$, trong đó $\Delta$ là delta (định thức) của tam thức. Ta có: $\Delta = [2(m-1)]^2 - 4*1*(m+5) = 4(m^2 - 2m + 1 - m -5) = 4(m^2-m-4)$. Vậy điều kiện để $\Delta >0$ tương đương với việc giải bất phương trình: $m^2-m-4>0$ Giải bất phương trình trên ta được: $m< -1$ hoặc $m>4.$ Vậy mệnh đề này cũng đúng. c) Khi $m=-1$ thì $f(x)>0,~\forall x \in R.$ Thay $m = -1$ vào tam thức ta được: $f(x) = x^2 - 2(-1-1)x + (-1) + 5 = x^2 + 4x + 4$. Đây chính là $(x+2)^2$, nên nó luôn không âm. Tuy nhiên, khi $x=-2$, giá trị của tam thức bằng 0, không lớn hơn 0. Vì vậy, mệnh đề này sai. d) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $\frac{f(x)}{x^2+x+3} \geq 0$ có nghiệm với mọi $x \in R.$ Bất phương trình $\frac{f(x)}{x^2+x+3} \geq 0$ tương đương với việc giải hệ: $\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ x^2+x+3 > 0 \end{cases}$ Ta dễ dàng nhận ra rằng, với mọi giá trị của x, thì $x^2+x+3 > 0$. Do đó, điều kiện cần và duy nhất để bất phương trình trên có nghiệm với mọi $x \in R$ là $f(x) \geq 0$. Như đã giải ở phần c), tam thức $f(x)$ chỉ không âm khi $m \geq -1$. Tuy nhiên, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của m. Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu là: -1, 0, 1, 2, 3. Vậy có tổng cộng 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu, không phải 4. Do đó, mệnh đề này sai. Câu 14: Trường THPT Tiên Lãng có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, 4 giáo viên giáo viên Vật lý nam. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Có 3 cách chọn một giáo viên nữ. b) Có 1320 cách lập một đoàn công tác gồm 3 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 1 thành viên. c) Có 95040 cách lập một đoàn công tác gồm 5 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 3 thành viên. d) Có 80 cách chọn ra một đoàn công tác gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn. a) Để chọn một giáo viên nữ từ 3 giáo viên nữ, ta có 3 cách chọn. Vậy câu a) là đúng. b) Để lập một đoàn công tác gồm 3 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 1 thành viên từ tổng số 8 giáo viên Toán, ta sử dụng công thức hoán vị: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$. Ta có số cách lập là: $P(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8*7*6 = 336$ Tuy nhiên, trong số này, việc xác định ai là trưởng đoàn, phó đoàn và thành viên không quan trọng. Do đó, số cách lập thực sự chỉ bằng $\frac{336}{3!} = 56$. Vậy câu b) là sai. c) Tương tự như b), để lập một đoàn công tác gồm 5 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 3 thành viên từ tổng số 8 giáo viên Toán, ta sử dụng công thức hoán vị: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$. Ta có số cách lập là: $P(8,5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8*7*6*5*4=6720$ Tuy nhiên, trong số này, việc xác định ai là trưởng đoàn, phó đoàn và các thành viên không quan trọng. Do đó, số cách lập thực sự chỉ bằng $\frac{6720}{3!}=1120$. Vậy câu c) là sai. d) Để chọn ra một đội công tác gồm 3 người có được ít nhất một nam và một nữ từ tổ hợp của các giáo viên Toán và Vật lý nam (tổng cộng có $5+4=9$ người), ta tính theo phương pháp loại trừ. Số cách chọn ra một nhóm gồm ít nhất một nam và một nữ là: Tổ hợp chọn ra nhóm không kể nam hay nữ: $C(9,3)=84$ Tổ hợp chọn ra nhóm không kể nam: $C(4,3)=4$ Tổ hợp chọn ra nhóm không kể nữ: $C(5,3)=10$ Số cách chọn ra một nhóm gồm ít nhất một nam và một nữ là: $84 - (4 +10)=70$ Vậy câu d) là sai. Đến cuối cùng ta thấy rằng chỉ có câu a) cho kết quả chính xác. Câu 15: Cho phương trình chính tắc của một elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$ a) Các điểm $F_1(-3;0)$ và $F_2(3;0)$ được gọi là tiêu điểm của elip. b) Với điểm $M\in(E)$ bất kì, ta luôn có $MF_1+MF_2=20.$ c) Nếu điểm M nằm trên (E) có hoành độ bằng 3 thì khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của elip lần lượt bằng 6,8 và 3,2. d) Có hai điểm M nằm trên elip nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Đây là một bài toán về hình học phẳng, cụ thể là về elip. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán. a) Điểm $F_1(-3;0)$ và $F_2(3;0)$ được gọi là tiêu điểm của elip nếu khoảng cách từ trung tâm của elip đến hai điểm này bằng nhau và nhỏ hơn trục lớn (trục ngang) của elip. Trong trường hợp này, trung tâm của elip là $(0,0)$ và trục lớn có độ dài $2a = 10$. Khoảng cách từ trung tâm đến hai tiêu điểm là $3$, nhỏ hơn $5$ nên hai điểm này chính là tiêu điểm của elip. b) Theo định nghĩa của elip, tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên elip đến hai tiêu điểm luôn bằng độ dài trục lớn. Trong trường hợp này, $MF_1 + MF_2 = 2a = 10$ chứ không phải 20. c) Nếu hoành độ của M bằng 3 thì M có tọa độ $(3,y)$ với $y$ thỏa mãn phương trình $(E)$. Từ phương trình $(E)$ ta có $\frac{9}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ hay $y^2 = 16(1 - \frac{9}{25}) = 6.4$. Vậy M có tọa độ là $(3, \pm\sqrt{6.4})$. Khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm lần lượt là $\sqrt{(3-(-3))^2 + y^2}$ và $\sqrt{(3-3)^2 + y^2}$, không thể bằng 6,8 và 3,2. d) Hai điểm M nằm trên elip nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nghĩa là tồn tại hai điểm M sao cho $MF_1$ vuông góc với $MF_2$. Điều này xảy ra khi M nằm trên trục bé (trục dọc) của elip. Trong trường hợp này, hai điểm đó có tọa độ $(0,\pm4)$.